Dado o sistema com realimentação unitária, sem compensação mostrado abaixo

Projete um compensador para resultar nas seguintes especificações: tempo de acomodação de ; ultrapassagente percentual de e o erro em regime permanente deve ser melhorado por um fator de vezes em relação ao do sistema sem compensação para uma entrada rampa.

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e o ponto preto é um dos polos dominantes que vamos usar no nosso projeto.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para diminuir o número de contas, podemos colocar o zero do compensador “em cima” de um dos polos em malha fechada para que o zero cancele esse polo. Sendo assim:

Sendo o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Não temos mais o polo em pq ele foi cortado com o zero do compensador. O polo do compensador que precisamos determinar, está representado pelo . Para saber onde ele está, usaremos a regra dos ângulos

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

Sendo assim:

E com o ângulo , conseguimos determinar a posição de :

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em .

Sendo assim já determinamos o polo e o zero da parte de avanço, e ainda falta determinar o ganho, o polo e o zero do compensador.

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

Vamos calcular as distâncias , e :

Sendo assim, o ganho será:

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

Como queremos que o erro seja reduzido em 20 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:

Ou,

Substituindo o que temos:

Teremos que:

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de vezes para que o erro em regime estacionário do sistema compensado seja 20 vezes menor que o do sistema não compensado.

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

Portanto, teremos:

Dessa vez, como o zero do compensador foi muito maior que o polo, vamos recalcular o nosso ganho para garantir que não houve um desvio muito grande. Sendo assim, vamos aplicar novamente o critério do módulo mas dessa vez considerando o polo e o zero novos.

Como já temos , e , vamos calcular e :

Sendo assim, o ganho será:

Que é já é uma diferença considerável dos que a gente tinha encontrado antes.

Finalmente, o nosso compensador será: