Projete um compensador de avanço e atraso de fase para o sistema mostrado abaixo de modo que o sistema opere com overshoot de e tempo de acomodação de . Além disso, o sistema compensado deverá apresentar melhoria de dez vezes no erro em regime permanente para uma entrada em rampa.
Passo 1
Vamos começar o fazendo o projeto da parte de avanço do nosso compensardor.
Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.
O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:
O fator de amortecimento pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:
Como queremos um overshoot de :
Para encontrar devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de :
Como
Portanto, o polo dominante será:
Passo 2
Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.
Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes.
Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.
Para facilitar o nosso lado, podemos estimar o valor do zero do compensador como sendo , porque aí o zero do compensador vai cortar com o polo do processo e aí diminui o número de cálculos que precisamos fazer. Portanto:
Sendo o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:
Repare que o polo em sumiu porque ele foi cortado com o zero do compensador. Além disso, adicionamos um polo em que é o polo do compensador que precisamos determinar através da regra:
Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de .
Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:
Sendo assim:
E por fim, conseguimos encontrar a posição de :
Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em e até agora já estamos assim com a noss função de transferência:
Passo 3
Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:
Devemos então calular as distâncias dos polos ao polos dominante e aplicar o critério:
Sendo assim, o ganho será:
Portanto, estamos assim com o nosso projeto:
Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.
Passo 4
Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.
Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:
Como queremos que o erro seja reduzido em 10 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:
Ou,
Substituindo o que temos:
Teremos que:
Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de vezes.
Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:
Portanto, teremis:
Se quiséssemos ser muito precisos, poderíamos calcular novamente o ganho usando o critério do módulo. Entretanto a inclusão do novo polo e do novo zero quase não alterariam o ganho encontrado anteriormente uma vez que eles têm o módulo praticamente iguais por estarem muito próximos um do outro, e portanto, se anulariam. Sendo assim, para nós o projeto já está satisfatório.