Considere um sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária e função em malha aberta dada por:
Utilizar o método do lugar das raízes para projetar um compensador na forma:
Tal que o sistema em malha fechada apresente os polos dominantes em . Assuma .
Passo 1
Esse exercício já nos é fornecido no enunciado o local dos polos dominantes em malha fechada. Sendo assim, não precisamos calcular e , podemos partir direto para o esboço do lugar das raízes.
Vamos representar no lugar das raízes os três polos em malha aberta e os polos dominantes:
Passo 2
O próximo passo seria arbitrar um ponto para o zero e encontrar um polo que faça com que o lugar das raízes passe pelos polos dominantes. Entretanto, não precisamos arbitrar esse ponto porque o enunciado pede que . Então vamos colocar o zero e polo do compensador no diagrama:
Passo 3
Devemos agora determinar o valor de . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:
A linha pontilhada vermelha foi desenhada apenas para auxiliar a visualização das relações trigonométricas no plano.
Para conseguir o ângulo , precisamos calcular os ângulos , , e . Podemos calcular esses ângulos utilizando o arcotangentes deles. Então vamos lá:
A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de , então:
Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros comângulos positivos, então:
Conhecendo o ângulo é possível calcular a localização do polo:
Como é a distância do polo até , o polo se encontrará em .
Passo 4
Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:
Só resta então calcular o valor do ganho .
Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:
O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:
Dessa forma:
Portanto: