Para um sistema realimentado, a função de transferência em malha aberta é:
O sistema está operando com de overshoot e tempo de sendimentação para um critério de de . Determine os polos dominantes e o polo, zerp e ganho do compensador para que o sistema diminua o tempo de acomodação pela metade mantendo-se o mesmo percentual de overshoot.
Passo 1
Para definir o polo dominante, precisamo de e :
Podemos calcular através da fórmula do overshoot:
Para um overshoot de , teremos:
Para achar utilizaremos a expressão para tempo de sedimentação com critério de :
O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:
Portanto:
Passo 2
Vamos representar os polos da função de transferência em malha aberta e os polos dominantes no diagrama de lugar das raízes
Os polos da função de transferência estão representados com um “xis” vermelho. Os polos dominantes estão representados pelos pontos.
Agora precisamos determinar o polo e o zero do compensador que faça com que o os polos dominantes façam parte do lugar das raízes. Existem infinitas combinações para esse polo e zero. Sendo assim, vamos arbitrar um valor para o zero e calcular o polo depois a partir desse valor de arbitrado do zero.
Uma tática é colocar o zero sobre o eixo dos reais com o mesmo valor do polo dominante. Então vamos fazer isso, vamos assumir que o zero se encontra em . Outra tática é colocar o zero no mesmo lugar que algum polo do processo de forma que o zero e o polo se cancelem. Vamos adotar essa estratégia e colocar o zero em . O polo e zero irão se cancelar e vamos ficar com a seguinte situação:
Passo 3
Devemos agora determinar o valor de . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:
Para conseguir o ângulo , precisamos calcular os ângulos e . Podemos calcular esses dois ângulos utilizando o arcotangente deles. Então vamos lá:
A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de , então:
Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros com ângulos positivos, então:
Sabendo o ângulo é possível calcular a localização do polo:
Como é a distância do polo até , o polo se encontrará em .
Passo 4
Só resta então calcular o valor do ganho .
Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:
O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:
Obs: a figura não está representada em escala.
Dessa forma:
Portanto:
Resposta
Polos dominantes:
Função de transferência do compensador: