Exercícios Resolvidos de Compensadores digitais

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Enunciado

Considere o sistema de controle mostrado abaixo. No plano z , projete um compensador digital que apresente polos dominantes em malha fechada com uma constante de amortecimento ζ = 0,5 e tempo de acomodação para uma faixa de 2 % de 2 s . O período de amostragem utilizado será 0,2 s .

G z = 0,017 ( z + 0,88 ) ( z - 1 ) ( z - 0,67 )

Passo 1

O primeiro passo para fazer o projeto no plano z é encontrar os polos dominantes no plano s e depois convertê-lo ao plano z .

O polo dominante no plano s terá forma:

s = - ω n ζ ± i ω n 1 - ζ 2

O valor de ζ nós já temos que foi dado como especificação de projeto, ζ = 0,5 . Para achar ω n vamos usar a especificação do tempo de assentamento. Para uma faixa de 5 % a fórmula para o tempo de decaimento é a seguinte:

T s ( 2 % ) = 4 ω n ζ

Substituindo os valores:

2 = 4 0,5 × ω n

ω n = 4 0,5 × 2 = 4

Os polos dominantes no plano s serão portanto:

s = - 2 ± 3,5 i

Passo 2

Agora precisamos determinar onde estarão esses polos no plano z atravé das seguintes fórmulas:

z = e - T ω n ζ  

∠ z = T ω n 1 - ζ 2

Portanto, podemos calcular o módulo e o ângulo do polo no plano z :

z = e - 2 × 0,2 = e - 0,4 = 0,67

∠ z = 3,5 × 0,2 = 0,70   r a d

Portanto, o polo no plano z em coordenadas angulares será:

z = 0,67 ∠ 0,70

Fazendo a conversão de coordenadas polares para retangulares teremos:

z = 0,51 ± 0,43 i

Passo 3

Vamos representar os polos dominantes e o polo da função de transferência do processo no diagrama abaixo:

O ponto preto indica o polo dominante em 0,51 ± 0,43 i , os “xis” vermelho representam os polos e os círculos vermelhos representam os zeros da função de transferência do processo. Agora precisamos encontrar o polo e o zero do compensador. Para isso, podemos simplesmente arbitrar ou o polo ou o zero e depois encontrar o outro usando a regra dos ângulos.

Uma estratégia muito usada nessas situações é arbitrar um polo/zero de forma que ele cancele um polo/zero já existente, facilitando assim o projeto do compensador. Aqui por exemplo, podemos arbitrar o zero do compensador em 0,67 de forma que cancele com o polo do processo que já existe.

Sendo assim, nosso diagrama ficará:

Repare que o polo em 0,67 sumiu porque ele foi cancelado com o zero do compensador. O “xis” azul representa o polo do compensador que precisamos determiner em que ponto ficará.

Passo 4

Para determinar o ponto exato do polo, usaremos a regra dos ângulos que diz que a soma dos ângulos dos polos menos a soma dos ângulos dos zeros deve ser igual a um múltiplo ímpar de 180 ° .

Sendo assim, teremos:

θ 1 - θ 2 + θ 3 = 180 ° ( 2 r + 1 )

Vamos calcular os ângulos θ 1 e θ 3 :

θ 1 = tan - 1 ⁡ 0,43 0,88 + 0,51   = 17,9 °

θ 3 = 180 - tan - 1 ⁡ 0,43 1,0 - 0,51 = 138,7 °

Sendo assim, podemos determinar θ 2 :

- 17,9 + θ 2 + 138,7 = 180 °

θ 2 = 59,2 °

Podemos agora determinar o ponto exato do polo do compensar, já que encontramos o ângulo que ele faz com o polo dominante:

tan ⁡ θ 2 = 0,43 0,51 - b

tan ⁡ 59,2 ° = 0,43 0,51 - b

Isso vais nos dar:

b = 0,25

Portanto, nosso compensador por enquanto está assim:

G c z = K c z - 0,67 z - 0,25  

Falta apenas calcular o ganho.

Passo 5

Para calcular o ganho, usaremos o critério do módulo. Para isso, precisaremos calcular as distâncias entre os polos dominantes e os polos e zeros do sistema:

Precisamos calcular h 1 , h 2 e h 3 :

h 1 = 0,43 2 + 0,88 + 0,51 2 = 1,45

h 2 = 0,43 2 + 0,51 - 0,25 2 = 0,50

h 3 = 0,37 2 + 1,0 - 0,51 2 = 0,61

A regra do módulo diz que:

K c × K × h 1 h 2 × h 3 = 1

Sendo K c o ganho do compensador e K o ganho do processo. Sendo assim:

K c = h 2 × h 3 K × h 1

K c = 0,50 × 0,61 0,017 × 1,45 = 12,4

Sendo assim, calculamos finalmente a função de transferência do nosso compensador de avanço:

G c z = 12,4 z - 0,67 z - 0,25

Resposta

G c z = 1,42 z - 0,07 z - 0,85