Considere o sistema de controle mostrado abaixo. No plano , projete um compensador digital que apresente polos dominantes em malha fechada com uma constante de amortecimento e tempo de acomodação para uma faixa de de . O período de amostragem utilizado será .
Passo 1
O primeiro passo para fazer o projeto no plano é encontrar os polos dominantes no plano e depois convertê-lo ao plano .
O polo dominante no plano terá forma:
O valor de nós já temos que foi dado como especificação de projeto, . Para achar vamos usar a especificação do tempo de assentamento. Para uma faixa de a fórmula para o tempo de decaimento é a seguinte:
Substituindo os valores:
Os polos dominantes no plano serão portanto:
Passo 2
Agora precisamos determinar onde estarão esses polos no plano atravé das seguintes fórmulas:
Portanto, podemos calcular o módulo e o ângulo do polo no plano :
Portanto, o polo no plano em coordenadas angulares será:
Fazendo a conversão de coordenadas polares para retangulares teremos:
Passo 3
Vamos representar os polos dominantes e o polo da função de transferência do processo no diagrama abaixo:
O ponto preto indica o polo dominante em , os “xis” vermelho representam os polos e os círculos vermelhos representam os zeros da função de transferência do processo. Agora precisamos encontrar o polo e o zero do compensador. Para isso, podemos simplesmente arbitrar ou o polo ou o zero e depois encontrar o outro usando a regra dos ângulos.
Uma estratégia muito usada nessas situações é arbitrar um polo/zero de forma que ele cancele um polo/zero já existente, facilitando assim o projeto do compensador. Aqui por exemplo, podemos arbitrar o zero do compensador em de forma que cancele com o polo do processo que já existe.
Sendo assim, nosso diagrama ficará:
Repare que o polo em sumiu porque ele foi cancelado com o zero do compensador. O “xis” azul representa o polo do compensador que precisamos determiner em que ponto ficará.
Passo 4
Para determinar o ponto exato do polo, usaremos a regra dos ângulos que diz que a soma dos ângulos dos polos menos a soma dos ângulos dos zeros deve ser igual a um múltiplo ímpar de .
Sendo assim, teremos:
Vamos calcular os ângulos e :
Sendo assim, podemos determinar :
Podemos agora determinar o ponto exato do polo do compensar, já que encontramos o ângulo que ele faz com o polo dominante:
Isso vais nos dar:
Portanto, nosso compensador por enquanto está assim:
Falta apenas calcular o ganho.
Passo 5
Para calcular o ganho, usaremos o critério do módulo. Para isso, precisaremos calcular as distâncias entre os polos dominantes e os polos e zeros do sistema:
Precisamos calcular , e :
A regra do módulo diz que:
Sendo o ganho do compensador e o ganho do processo. Sendo assim:
Sendo assim, calculamos finalmente a função de transferência do nosso compensador de avanço: