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Exercícios Resolvidos de Compensadores digitais

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Exercício 31245678

Enunciado

Para entradas em degrau e rampa obtenha o erro em regime permanente para o sistema mostrado abaixo:

G 1 s = 20 s + 3 s + 4 s + 5

Passo 1

O primeiro passo será encontrar a função de transferência do sistema no plano z .

No plano s temos que:

G O L s = 1 - e - T s s 20 s + 3 s + 4 s + 5

Precisamos aplicar a transformada Z na função de transferência, sendo assim:

G O L z = Z 1 - e - T s s 20 s + 3 s + 4 s + 5

Manipulando um pouco:

G O L z = Z 1 - e - T s Z 20 s + 3 s s + 4 s + 5

Como pela definição temos que:

z = e T s

Podemos fazer:

Z 1 - e - T s = 1 - z - 1 = z - 1 z

Portanto:

G O L z = z - 1 z Z 20 s + 3 s s + 4 s + 5

Passo 2

Vamos agora expandir 20 s + 3 s s + 4 s + 5 em frações parciais para encontrar a transformada Z desse termo:

20 s + 3 s s + 4 s + 5 = 20 0,15 s + 0,25 s + 4 - 0,4 s + 5

Consultando uma tabela de transformada Z , teremos:

Z 20 0,15 s + 0,25 s + 4 - 0,4 s + 5 = 20 0,15 z z - 1 + 0,25 z z - e - 4 T - 0,4 z z - e - 5 T

Logo:

G O L z = 20 z - 1 z 0,15 z z - 1 + 0,25 z z - e - 4 T - 0,4 z - e - 5 T

G O L z = 3 + 5 z - 1 z - e - 4 T - 8 z - 1 z - e - 5 T

Passo 3

Vamos fazer primeira para a entrada degrau.

As fórmulas para o erro da entrada degrau são:

k p = lim z → 1 ⁡ G O L z

e ∞ = 1 1 + k p

Vamos calcular a constante do erro k p então:

k p = lim z → 1 ⁡ 3 + 5 z - 1 z - e - 4 T - 8 z - 1 z - e - 5 T = 3

Calculando o erro:

e ∞ = 1 1 + k p = 1 1 + 3 = 0,25

Passo 4

Vamos agora calcular o erroa para a entrada rampa.

As fórmulas de erro para a entrada rampa são:

k v = 1 T lim z → 1 ⁡ z - 1 G O L z

e ∞ = 1 k v

Calculando primeiramente o k v :

k v = 1 T lim z → 1 ⁡ z - 1 3 + 5 z - 1 z - e - 4 T - 8 z - 1 z - e - 5 T

k v = 1 T lim z → 1 ⁡ 3 ( z - 1 ) + 5 z - 1 2 z - e - 4 T - 8 z - 1 2 z - e - 5 T = 0

O erro será portanto

e ∞ = 1 k v = 1 0 = ∞

Resposta

Entrada rampa:

e ∞ = 4

Entrada degrau:

e ∞ = ∞