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Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Exercício 71234568

Enunciado

Esboce o diagrama de Bode da função de transferência abaixo:

G s = 30 s ( s + 3 )

Passo 1

Primeiramente vamos dividir toda a função por 3 para conseguir aquele “mais um” no denominador:

G s = 10 s s 3 + 1

Vamos escrever então a expressão para a razão de amplitude (em d B ):

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 i ω i ω 3 + 1 = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ i ω - 20 log ⁡ i ω 3 + 1

Portanto:

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 3 2 + 1

E o ângulo de fase:

θ = ∠ 6 - ∠ i ω - ∠ i ω 3 + 1 = - tan - 1 ⁡ ∞ - tan - 1 ⁡ ω 3

Passo 2

Começando pela razão de amplitude.

20 log ⁡ R A = 20 log ⁡ 10 - 20 log ⁡ ω - 20 log ⁡ ω 3 2 + 1

O primeiro termo é uma constante, portanto será uma linha horizontal no diagrama de Bode, vamos representa-lo com uma linha verde:

20 log ⁡ 10 = 20

Passo 3

Já o segundo termo é uma reta com inclinação - 20   d B para qualquer faixa de frequência. Desde frequências muito baixas até frequências muito altas:

- 20 log ⁡ ω

Vamos representar esse termo com uma linha vermelha:

Em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B (sabemos que a inclinação é negativa por causa do sinal, mas você pode guardar que sempre que um termo estiver no denominador da função de transferência, sua inclinação será negativa). O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 5   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha vermelha.

Por fim, o terceiro termo em frequências muito baixas será uma constante de valor 0 , e em frequências altas será uma reta com inclinação - 20   d B / d e c a d a . O ponto de encontro entre esses dois intervalos será na nossa frequência de quebra que nesse caso é 3   r a d / s e g . Vamos represetar esse termo com uma linha amarela:

Somando as três linhas:

Podemos perceber que o ponto inicial é em 20 log ⁡ 10 , a curca decai linearmente com inclinação - 20   d B / d e c a d a desde o início do diagrama devido ao polo na origem. Em 3   r a d / s e g a curva começa a sofrer a influência do outro polo e começa a decair com inclinação - 40   r a d / s e g

Passo 4

Partindo agora para o ângulo de fase:

θ = - tan - 1 ⁡ ∞ - tan - 1 ⁡ ω 3

A primeira linha é uma constante, já que:

- tan - 1 ⁡ ∞ =   - 90   º

Vamos representar essa linha com vermelho:

O segundo termo é um polo normal. Para esse tipo de polo consideraremos que em frequências muito baixas o ângulo de fase será 0 º , e em frequências muito altas, será - 90 º . A mudança entre essas duas fazes acontece uma década antes e vai até uma década depois da frequência de quebra, que nesse caso é 3   r a d / s e g . Vamos representar esse polo com uma linha amarela. Sendo assim:

Somando as duas linhas:

Resposta