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Exercícios Resolvidos de Distribuição Hipergeométrica

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Exercício 31245

Enunciado

Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional.

  1. Se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?
  2. Se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra?

Passo 1

Óh, acompanha comigo!

O lote tem 140 cartões e a gente vai selecionar 20 deles sem reposição....

Aí você já tem que ter a maldade de que estamos tratando de uma distribuição hipergeométrica.

Passo 2

(a)

Se dos 140 cartões, 20 forem defeituosos, qual a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?

A gente sabe que terá que usar a função de probabilidade hipergeométrica:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Muitas variáveis né? Relembrando o que é cada uma...

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Passo 3

No nosso exercicio a gente tem que:

N = 140

n = 20

r = 20

Só que a gente tem que calcular P ( X ≥ 1 ) , concorda? No mínimo igual a 1 quer dizer maior ou igual..

P X ≥ 1 = 1 - P ( X = 0 )

Passo 4

Ou seja, usamos k = 0 , e substituímos tudo na fórmula:

P X = 0 = 20 0 . 120 20 140 20

Fazendo as contas:

P X = 0 = 20 ! 0 ! 20 ! . 120 ! 20 ! 100 ! 140 ! 20 ! 120 !

P X = 0 = 120 ! 20 ! 100 ! 20 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 120 ! 100 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 120.119 .   … . 101 140.139 .   … . 121

P X = 0 = 0,0356

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - 0,0356

P X ≥ 1 = 0,9644

Passo 5

(b)

Aqui o raciocínio é o mesmo, só muda que o valor de r agora será:

r = 5

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Usando k = 0 :

P X = 0 = 5 0 . 135 20 140 20

P X = 0 = 5 ! 0 ! 5 ! . 135 ! 20 ! 115 ! 140 ! 20 ! 120 !

P X = 0 = 135 ! 20 ! 115 ! 20 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 135 ! 115 ! 120 ! 140 !

P X = 0 = 135.134 .   … . 116 140.139 .   … . 121

P X = 0 = 0,4571

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - 0,4571 = 0,5429

Resposta

a   0,9644

b   0,5429

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