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Exercícios Resolvidos de Distribuição Hipergeométrica

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Exercício 12345

Enunciado

Um estado tem uma loteria em que seis números são selecionados aleatoriamente de 40, sem reposição. Um jogador escolhe seis números antes do sorteio acontecer.

  1. Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis números sorteados?
  2. Qual é a probabilidade de que cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
  3. Qual é a probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?
  4. Qual é a probabilidade de que no máximo cinco dos seis números escolhidos pelo jogador apareçam entre os números sorteados?

Passo 1

Temos 40 números no total e vamos tirar uma amostra de 6 números, sem reposição.

Isso indica o que? Uma distribuição hipergeométrica, concorda? Tem que ficar esperto nessa lance de ser sem reposição.

Nessa questão vamos usar a função de probabilidade da hipergeométrica:

P X = k = r k . N - r n - k N n

Onde:

N → n °   t o t a l   d e   e l e m e n t o s

n → n °   d e   e l e m e n t o s   d a   n o s s a   a m o s t r a

r → n °   i n i c i a l   d e   e l e m e n t o s   c o m   a   c a r a c t e r í s t i c a   r e q u e r i d a

k → n °   d e   e l e m e n t o s   q u e   a   g e n t e   q u e r   n a   n o s s a   a m o s t r a   c o m   a   t a l   c a r a c t e r í s t i c a

Concorda que N = 40 e n = 6 e r = 6 , independente da situação? Só vai mudar o valor de k , que será o valor de números corretos que vamos escolher!

Passo 2

(a)

Aqui teremos k = 6 .

P X = 6 = 6 6 . 34 0 40 6

≅ 2,6 × 10 - 7

Passo 3

(b)

Aqui k = 5 :

P X = 5 = 6 5 . 34 1 40 6

≅ 5,31 × 10 - 5

Passo 4

(c)

Para k = 4 :

P X = 4 = 6 4 . 34 2 40 6

≅ 2,20 × 10 - 3

Passo 5

(d)

A probabilidade de no máximo 5 serem corretos é o mesmo que P ( X ≤ 5 ) , correto?

P X ≤ 5 = 1 - P ( X = 6 )

P ( X = 6 ) a gente já calculou, então tá safo!

P X ≤ 5 = 1 - 2,6 × 10 - 7

Resposta

a   2,6 × 10 - 7

b   5,31 × 10 - 5

c   2,20 × 10 - 3

d   1 - 2,6 × 10 - 7

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