Considere a equação diferencial . Qual o valor de de modo a que a função seja solução da equação diferencial?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Para encontrar o valor de vamos jogar a função na EDO. Mas antes disso vamos encontrar as suas respectivas derivadas.
A primeira derivada de que é encontrada através da regra do produto que vai ser:
Ajeitando um pouquinho mais:
Passo 2
Fazendo agora a segunda derivada, temos que usar a regra do produto novamente:
E teremos:
Passo 3
Beleza, já temos nossas derivadas, então podemos jogar esses valores na equação, obtendo:
Para encontrar o valor de , vamos jogar o termo que tem ele, para o outro lado da equação, e juntar os termos semelhantes do lado esquerdo colocando o em evidência:
Como então podemos cortar dos 2 lados, o que dá:
Também podemos cortar o dos dois lados, ficando com
Assim,
Passo 4
Repare que se , podemos substituir na nossa equação diferencial:
Portanto,
Ou seja, se , a função é solução da equação, não importando o valor de , e não é isso que queremos!
Então para que seja sempre solução da EDO, para qualquer valor de , devemos ter .
Resposta
Alternativa (e)