Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Vamos começar bem tranquilinho aqui, simplesmente colocando nossa EDO na forma :
Legal! A equação já está na forma que queremos e podemos usar a equação característica:
Passo 2
Para resolver vamos encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificando o discriminante: , ou ?
Lembra que dependendo do valor do delta, temos diferentes tipos de soluções? Só relembrando rapidinho aqui com você
Onde
Pra nossa questão então temos
Passo 4
Agora vamos encontrar as raízes da equação auxiliar:
Onde o cálculo das raízes é:
Passo 5
Show, agora colocamos essas raízes na solução:
Lembrando que esse será nosso tipo de solução por que inicialmente tínhamos o
Substituindo os valores de :
Resolvido! Agora pra fechar bonito, precisamos descobrir os valores das constantes.
Passo 6
Resolvendo o PVI:
Teremos que calcular a derivada:
Substituímos o
E colocamos os valores iniciais fornecidos:
Isso nos ajuda a encontrar um sistema do tipo:
Vamos multiplicar a primeira equação por (-2). Concorda que assim quando formos somar as duas equações o termo vai sumir? E é isso que queremos.
Agora podemos somá-las.
Agora só substituir o valor de em qualquer uma das duas equações pra achar o valor de
Logo:
Agora é só substituir as constantes na solução geral:
E partir pro abraço! rsrs