Questão 2: Determine todos os valores de para os quais o seguinte problema da EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de .
Passo 1
Bora lá então pra começar essa questão vamos colocar a EDO na forma que nós estamos acostumados a trabalhar, ou seja
Montando agora a equação característica:
Resolvendo essa equação encontrando primeiro o delta:
Onde no nosso caso,
Então agora vamos começar a analisar cada situação para !
Passo 2
Observa que nós não sabemos o valor de Então, vamos supor valores que façam com que o seja maior, igual ou menor que zero, afinal de contas é o valor de delta que vai determinar qual nosso tipo de solução. Se então a solução da equação característica é...
Então a solução da EDO é...
Aplicando as condições de contorno...
Além disso...
A única forma disso ser é se , certo? Então não rola, neh? Pois queremos soluções diferentes de zero, como o enunciado pediu!
Passo 3
A outra situação possível é se ...
Então a solução da EDO:
Aplicando as condições de contorno...
E
A única forma disso ser é se e novamente isso não rola!
Passo 4
A última situação é se , então teremos uma resposta para a equação característica imaginária:
Observa que colocamos o delta no módulo e tiramos o , por que assim sabemos que aquela raiz terá um valor real positivo.
Assim, a resposta da EDO será:
Aplicando as condições...
E
Como o a gente não quer que seja ...
Como , então...
E a solução da Edo será: