Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
Passo 1
Primeira coisa que vamos fazer aqui é colocar a EDO na forma :
Show, a equação já está na forma que queremos! Agora podemos escrever no formato da equação auxiliar e adequar a resposta ao caso que encontrarmos.
Passo 2
Colocando a equação no formato da equação auxiliar temos que:
Então, vamos trabalhar agora com a nossa nova equação:
Que é uma equação de grau.
Passo 3
Pra resolver essa equação, precisamos analisar quem é o nosso , ou seja, verificar se: , ou . Para isso, vamos lembrar do nosso amigo Bháskara, o qual usamos para encontrar as raízes da equação que está no formato:
Precisamos, então, encontrar , e . Comparando as equações:
Logo:
Passo 4
Já com os valores dos coeficientes em mãos podemos jogar na fórmula de
Ou seja,
Passo 5
Como , vamos trabalhar com raízes complexas pois:
Sendo que,
Pois,
Outra maneira de encontrar as raízes seria fazendo:
Mas isso é para esse caso, na maioria das vezes precisamos usar Bhaskara. Então já adiantei para você
Passo 6
Show! Encontramos então que nossas raízes são:
Logo:
Comparando com,
Temos que
Passo 7
Agora podemos colocar no modelinho de resposta que já vem pronto e só precisamos substituir os valores encontrados: