Exercícios Resolvidos de Energia Cinética

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Enunciado

Dois barcos projetados para deslizar no gelo estão inicialmente em repouso sobre um lago congelado (que pode ser considerado uma superfície lisa sem atrito). Os barcos pretendem apostar uma corrida até um ponto que se encontra a uma distância 100 m de onde eles estão inicialmente. As velas dos barcos são idênticas de maneira que o vento exerce sobre os barcos a mesma força de módulo 10 N . Um dos barcos possui massa total 500 k g e o outro 1000 k g (já consideradas as massas do tripulante de cada barco). Qual dos barcos cruza a linha de chegada primeiro? Qual possui maior energia cinética ao cruzar a linha de chegada?

Passo 1

Para começar essa questão vamos usar a segunda lei de Newton:

F = m ⋅ a

Força é igual a massa multiplicada pela aceleração.

Vamos pensar nessa fórmula para o barco 1 :

F 1 = m 1 ⋅ a 1

Como a massa do primeiro barco é igual a:

m 1 = 500   k g

A fórmula da segunda lei de Newton é igual a:

F 1 = 500 ⋅ a 1

E para o barco 2 :

F 2 = m 2 ⋅ a 2

Como a massa do segundo barco é igual a:

m 2 = 1000   k g

A fórmula da segunda lei de Newton é igual a:

F 2 = 1000 ⋅ a 2

Passo 2

Como não há atrito na superfície do gelo, temos que a única força aplicada aos barcos 1 e 2 é a força do vento nas velas igual a:

F 1 = F 2 = 10 N

Substituindo na fórmula que encontramos no passo anterior:

F 1 = 500 ⋅ a 1 F 2 = 1000 ⋅ a 2

Encontramos:

10 = 500 ⋅ a 1 10 = 1000 ⋅ a 2

Podemos calcular as acelerações dos barcos:

a 1 = 10 500 = 0,02 m / s 2

Enquanto a aceleração do segundo barco é igual a:

a 2 = 10 1000 = 0,01 m / s 2

Passo 3

O que podemos concluir com isso? Primeiramente queremos saber quem chega primeiro à linha de chegada. Para isso, vamos usar a equação de espaço do MRUV:

s = s 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Os barcos saem da posição 0 m e chegam na posição de 100 m , pois eles percorrem 100 m , substituindo na equação:

100 = 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Sabemos que inicialmente, os dois barcos estão em repouso, logo a velocidade inicial v 0 é igual a zero:

100 = 0 + 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Tudo que é igual a zero, vamos retirar da expressão:

100 = a ⋅ t 2 2

Logo o tempo varia de acordo com a aceleração de cada barco:

100 = a 1 ⋅ t 1 2 2

100 = a 2 ⋅ t 2 2 2

Logo para o primeiro barco que tem aceleração:

a 1 = 0,02 m / s 2

Gasta o tempo   t 1 :

100 = 0,02 ⋅ t 1 2 2

Vamos isolar t 1 . Para isso, passaremos o 2 para o outro lado multiplicando

0,02 ⋅ t 1 2 = 2   ⋅ 100 = 200

Passando 0,02 para o outro lado dividindo:

t 1 2 = 200 0,02

A divisão é igual a:

t 1 2 = 10.000

Devemos tirar a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

t 1 = 10.000 = 100 s

Ou seja, o primeiro barco demorou 100   s e g u n d o s para atravessar a linha de chegada no gelo.

Vamos fazer o mesmo processo para encontrar o tempo do segundo barco!

100 = a 2 ⋅ t 2 2 2

Logo, para o segundo barco que tem aceleração:

a 2 = 0,01 m / s 2

Gasta o tempo   t 2 :

100 = 0,01 ⋅ t 2 2 2

Vamos isolar t 2 . Primeiro passaremos o 2 para o outro lado multiplicando

0,01 ⋅ t 2 2 = 2   ⋅ 100 = 200

Passando 0,01 para o outro lado dividindo:

t 2 2 = 200 0,01

A divisão é igual a:

t 2 2 = 20.000

Devemos tirar a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

t 2 = 20.000 = 141,42 s

Ou seja, o segundo barco demorou 141,42   s e g u n d o s para atravessar a linha de chegada no gelo.

Logo, como o tempo do segundo barco é maior do que o primeiro barco

t 2 > t 1

Então, o primeiro barco de massa 500 kg chega primeiro, beleza?

Passo 4

Para descobrirmos a velocidade que eles chegam à linha de chegada, vamos aproveitar que já temos o tempo que eles demoram para alcança-la e vamos usar a equação da velocidade:

v = v 0 + a t

Nós já conversamos que inicialmente a velocidade v 0 é nula para os dois barcos, pois eles estão em repouso. Temos que, para o primeiro barco a velocidade final v 1 é igual a:

v 1 = 0 + a 1 ⋅ t 1

Substituindo os valores da aceleração e do tempo:

v 1 = 0 + 0,02 ⋅ 100

Resolvendo essa continha encontraremos

v 1 = 2 m / s

Para o segundo barco, podemos usar a mesma fórmula para encontrar a velocidade final v 2 apenas trocando os valores da aceleração e do tempo:

v 2 = 0 + a 2 ⋅ t 2

Substituindo os valores da aceleração e do tempo:

v 2 = 0 + 0,01 ⋅ 141,42

Fazendo essa continha encontramos

v 2 = 1,4142 m / s

Passo 5

Para achar a energia cinética, devemos seguir a fórmula:

K = m ⋅ v 2 2

Para o primeiro barco:

K 1 = m 1 ⋅ v 1 2 2

Substituindo os valores que conhecemos da massa e da velocidade que calculamos:

K 1 = 500 ⋅ 2 2 2

Elevando o 2 ao quadrado:

K 1 = 500 ⋅ 4 2

Multiplicando 500 por 4 :

K 1 = 2000 2

Fazendo essa divisão encontraremos a energia cinética do primeiro barco

K 1 = 1000 J

Já para o outro barco:

K 2 = m 2 ⋅ v 2 2 2

Substituindo os valores que conhecemos da massa e da velocidade que calculamos:

K 2 = 1000 ⋅ 1,4142 2 2

Elevando 1,4142 ao quadrado:

1,4142 2 = 1,4142 ⋅ 1,4142 ≈ 2

Então

K 2 = 1000 ⋅ 2 2

Como estamos multiplicando por 2 e dividindo por 2 ao mesmo tempo, podemos cortar o 2 do numerador com o 2 do denominador:

K 2 = 1000 J

Portanto, os barcos cruzam a linha de chegada com energias cinéticas iguais:

K 1 = K 2 = 1000 J

Resposta

O primeiro barco de massa 500 kg chega primeiro, embora os dois barcos possuam a mesma energia cinética ao passar pela linha de chegada.