USP, Física 4, P2 2017.2, 1
Uma partícula instável, de massa de repouso , inicialmente em repouso, decai produzindo duas partículas idênticas. Suponha que a massa de repouso e a energia cinética K de cada uma das partículas finais sejam conhecidas. Considere também que o sistema permanece isolado ao longo de todo o processo.
(a) Seja v a velocidade de uma das partículas de massa de repouso . Calcule v/c, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Expresse sua resposta em termos de, K e c.
(b) Calcule o valor da massa , expressando sua resposta em termos de , K e c.
(c) Determine v, quando = 0.
Passo 1
Antes de tudo devemos nos lembrar do conceito de energia total relativística. Sabemos que podemos definir a nossa energia relativística com base em apenas dois conceitos ou com base na sua fórmula geral, vamos analisar cada um.
Primeiro vamos entender com escrever a nossa energia relativística com base em outros dois conceitos
A nossa primeira fórmula é
Em que
Ou seja, a nossa energia de repouso total se baseia na energia inicial de repouso e da energia cinética adquirida pela partícula.
Mas lembra que eu disse que podemos calcular nossa energia relativística total através de outra fórmula?
Nossa segunda fórmula será dada por
Em que é o fator de Lorentz dado pela fórmula
Que podemos reescrever da seguinte forma
Lembrando que com essa fórmula já calculamos o valor total da energia relativística já contabilizando o valor de energia de repouso e de energia cinética.
Passo 2
Agora que já conhecemos todas essas relações podemos escrever as duas fórmulas como uma sendo igual a outra, já que ambas expressão a energia total relativística.
Isolando os termos com e colocando-os em evidencia, teremos:
Isolando o valor de teremos
Fazendo mmc
Como teremos que
Passo 3
Agora que cumprimos o primeiro objetivo vamos para o segundo objetivo. Nesse caso será muito simples, mas tem que tomar o seguinte cuidado, nos vamos usar aqui um conceito muito antigo, e que já é nosso amigo a muito tempo, que nesse caso é a conservação de energia. Sabemos o seguinte, antes temos uma partícula de massa incialmente em repouso, logo sabemos que a sua energia antes é
Que é a energia de repouso da partícula, porem ela sofre um decaimento ate que produz duas partículas de massa de repouso igual a .
Vimos que nesse caso a energia dessa partícula é dada por
Mas tome muito cuidado, lembre-se que surgiram duas partículas , ou seja, a energia final será.
Em que sabemos que pode ser escrito como
Dessa forma, igualando as equações teremos
Agora é simples, basta isolar e cumprir o segundo objetivo.
Passo 4
Agora o terceiro passo é bem simples, lembra que já calculamos uma fórmula que coloca em função de , calculamos essa relação no primeiro objetivo, vamos trazer ela de volta.
Substituindo teremos que
Ou seja
O que era de se esperar. Na relatividade, partículas com massa nula só podem se deslocar com a velocidade da luz, exatamente como o fóton, fótons possuem massa nula e consequentemente se movem na velocidade da luz, é bom saber isso pois se caso você estiver na prova e usar a massa da partícula igual a zero e não der que a velocidade dela é igual a da luz, significa que você fez o calculo errado.
Resposta
a)
b)
c)