Exercícios Resolvidos de Equação da Quantidade de Movimento

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Enunciado

(Adaptada) Água escoa em regime permanente através de um cotovelo redutor, conforme mostrado. O cotovelo é liso e curto e o escoamento acelera, de modo que o efeito do atrito é pequeno. A vazão em volume é Q   =   2,5   L / s . O cotovelo está em um plano horizontal. Calcule a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo de suprimento de água.

Dados: pressão manométrica na seção 1 é p 1 = 11,7   k P a .

Passo 1

Vamos ao primeiro passo que é escolher o volume de controle (VC). Queremos saber a componente x da força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo, logo, o VC precisa passar pela conexão tubo-cotovelo.

Além disso, temos informações sobre a saída do cotovelo, então é interessante que o VC passe por lá.

O toque final é deixar esse volume de controle o mais simétrico possível. Com isso, olha só quem foi escolhido:

Passo 2

Hora de aplicar a equação da conservação do momento linear! O enunciado pede a componente x da força, então vamos analisar a equação na direção x, beleza?

Fazendo as hipóteses de escoamento permanente, fluido incompressível e propriedades uniformes, podemos usar essa equação:

∑ F x = m ˙ s a í d a . u s a í d a - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

Repara que u é a componente da velocidade em x. Na saída do cotovelo, a velocidade está somente no eixo y, logo u s a í d a = 0

∑ F x = - m ˙ e n t r a d a . u e n t r a d a

E qual seria a velocidade de entrada? O cotovelo está no plano horizontal e pela figura, podemos perceber que na entrada do VC: u e n t r a d a =   V 1

Ok! Mas quem é V 1 , não é mesmo? Então, vamos conseguir calcular a velocidade de entrada pela vazão volumétrica e diâmetro do tubo que o enunciado deu. A conta é essa aqui:

Q = V . A ⇒   V 1 =   Q A

V 1 =   Q π D 2 4 = 4 Q π D 2

Lembrando de converter as unidades para o SI: Q   =   2,5 × 10 - 3   m 3 / s e : D   = 0,045   m

V 1 =   4 × 2,5 × 10 - 3 π 0,045 2 = 1,57   m / s

Então, a componente da velocidade de entrada em x é u e n t r a d a =   1,57   m / s

∑ F x = - m ˙ e n t r a d a . 1 , 57

Para encontrar a vazão mássica, podemos usar a seguinte relação já que assumimos a hipótese de fluido incompressível (água)

m ˙ e n t r a d a =   ρ Q

Substituindo

m ˙ e n t r a d a =   1000 × 2,5 × 10 - 3 = 2,5   k g / s

∑ F x = - 2,5 × 1,57 = - 3,93   N

Agora a pergunta que não quer calar... Quais forças atuam no eixo x?

Temos a força do tubo sobre o cotovelo ( R x ) , além da força de pressão do fluido na seção 1 ( F p ) :

R x + F p   = - 3,93

R x + p 1 A 1   = - 3,93

Lembrando que A 1 =   π D 2 4 =   π 0,045 2 4 = 0,00159   m 2

E p 1 = 11,7   k P a = 11700   P a

Utiliza-se a pressão manométrica, pois a pressão atmosférica atua de forma simétrica. Assim:

R x + 11700 × 0,00159   = - 3,93

R x   = - 22,53   N

Essa é a força exercida pelo tubo sobre o cotovelo. Para achar, a força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo, (reação) trocamos o sinal.

K x =   - R x = 22,5   N

Resposta

A força exercida pelo cotovelo redutor sobre o tubo é 22,5   N

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