Encontre as raízes da equação abaixo
Passo 1
Fala aííí!! Vamos encontrar as raízes dessa equação do terceiro grau?? Se você reparar, não temos o em todos os termos da equação, então não podemos usar aquele método de colocar em evidência o em comum a todos os termos...
Então como podemos atacar esse exercício?? Utilizaremos o processo de Briot-Ruffini! Com ele conseguiremos reduzir o grau do nosso polinômio até chegar numa equação que conseguimos resolver!!
Para usá-lo, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar alguns valores de e ver se damos sorte:
Vamos primeiro testar
Substituindo o valor, temos
Opa, essa igualdade não é verdade! . Logo, não é raíz dessa equação!
Vamos testar
Substituindo o valor, temos
Opaaaaa, com , nossa expressão zerou, o que significa que a igualdade será válida e é uma raiz da nossa equação.
Passo 2
Agora sim, vamos a Briot Ruffini, com esse método vamos reescrever nossa equação como uma multiplicação de , onde esse é a raiz que conhecemos, vezes um outro polinômio de grau menor. No nosso caso, teremos:
Beleza?! Então vamos lá! Primeira coisa que faremos é armar o quadro:
Na parte superior esquerda, colocamos a raiz que já conhecemos, no caso, :
Na parte superior direita, colocamos os coeficientes da expressão que queremos reduzir:
Agora, vamos repetir o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:
E multiplicar o número que desceu pela raiz conhecida:
Agora, some o resultado com o segundo coeficiente à direita
e coloque o resultado logo abaixo deste:
Beleza?!
Agora vamos repetir o processo até chegar no último coeficiente:
Agora o resultado da multiplicação somamos com o terceiro coeficiente à direita
E colocaremos o resultado logo abaixo deste:
Mais uma vez, pra encerrar:
Fazendo a multiplicação, temos
O resultado multiplicaremos com somamos com o quarto coeficiente à direita
E colocaremos o resultado logo abaixo deste:
O último termo do resultado é o resto, mas como o resto é zero, não precisamos nos preocupar com ele. Fica tranquilo que a ideia aqui é sempre encontrarmos zero mesmo, então vamos seguir!
Agora, vamos escrever os três números restantes que encontramos como coeficientes de uma expressão do 2º grau:
Essa expressão é o polinômio que estávamos procurando e podemos reescrever nossa equação como:
Portanto, nossas soluções serão:
O resultado da primeira parte, já conhecemos:
Para a segunda, como temos uma equação do 2º grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Beleza?!
Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o , e . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui
Então, comparando com a nossa equação
Conseguimos encontrar os valores de , e :
Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o :
Substituindo os valores , e , temos
Fazendo as continhas, temos
Passo 3
Agora podemos substituir o valor de e os demais valores na fórmula de Bhaskara:
Teremos então duas raízes:
E
Então, as soluções para nossa equação são