Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

Ver Teoria

Enunciado

Um capacitor de placas circulares paralelas está sendo carregado. Calcule o raio das duas placas, sabendo que o raio das duas placas são iguais, a taxa de variação temporal do campo elétrico é igual a 1,50 ⋅ 10 12   V / m ⋅ s e que a intensidade do campo magnético gerado pela variação do campo elétrico é B = 4,59 ⋅ 10 - 7   T . Dados: a constante de permissividade elétrica no vácuo é 8,85 ⋅ 10 - 12   F / m e o coeficiente de permeabilidade magnética no vácuo é 4 π ⋅ 10 - 7   N / A 2

Passo 1

Vamos começar relembrando a Lei Ampère- Maxwell:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 ⋅ i + ε 0 ⋅ d Φ E d t

Se pensarmos em um caminho fechado em torno de uma das placas do capacitor de placa circular, podemos fazer uma curva de mesmo raio R que a placa:

Logo o caminho da superfície dependerá do raio da placa do capacitor:

d l = 2 ⋅ π ⋅ d R

Passo 2

Integrando o campo magnético nessa superfície será o produto entre o campo magnético e a integral do raio:

∮ B → ⋅ d l → = B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R

Vamos pensar em módulos, pois foi isso que foi dado no enunciado, beleza? Então nossa equação se tornou:

B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R = μ 0 ⋅ i + ε 0 ⋅ d Φ E d t

Passo 3

Pense comigo, entre duas placas de um capacitor, não existe corrente elétrica, pois não é ligação física, porém ocorre passagem de fluxo elétrico, logo:

i = 0

Então a equação fica da forma: B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ d Φ E d t

Passo 4

O fluxo de campo elétrico nada mais é do que o campo elétrico dividido pela área da placa:

Φ E = E A

Em um capacitor de placa circular, a área será a área do círculo, que é igual a:

A c í r c u l o = π ⋅ R 2

Substituindo na equação do fluxo elétrico:

Φ E = E A = E π ⋅ R 2

Nossa equação fica da seguinte forma então:

B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ d E π ⋅ R 2 d t

Como o que varia no tempo é apenas o campo elétrico E e não o raio R , podemos retirar da derivada:

B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 1 π ⋅ R 2 d E d t

Passo 5

Vamos organizar essa igualdade que parece um pouco bagunçada:

B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 1 π ⋅ R 2 d E d t

Primeiro, vamos ver que esse produto pela fração, teremos:

B ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ d E d t

Como temos π dos dois lados da igualdade, podemos cortar esse valor em ambos os lados:

B ⋅ 2 ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ R 2 ⋅ d E d t

Sabemos que:

R 2 = R ⋅ R

Então:

B ⋅ 2 ⋅ R = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ R ⋅ R ⋅ d E d t

Como temos R dos dois lados da equação, podemos cortar R de cada lado da igualdade:

B ⋅ 2 = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ R ⋅ d E d t

Passo 6

Vamos substituir os valores que foram dados no enunciado:

d E d t = 1,50 ⋅ 10 12   V / m ⋅ s

B = 4,59 ⋅ 10 - 7   T

ε 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   F / m

μ 0 = 4 π ⋅ 10 - 7   N / A 2

Nossa equação:

B ⋅ 2 = μ 0 ⋅ ε 0 ⋅ R ⋅ d E d t

Com os valores se torna:

4,59 ⋅ 10 - 7 ⋅ 2 = 4 π ⋅ 10 - 7   ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ R ⋅ 1,50 ⋅ 10 12

Como apenas não sabemos o raio R , vamos passar tudo que multiplica para o outro lado:

4,59 ⋅ 10 - 7 ⋅ 2 4 π ⋅ 10 - 7   ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 1,50 ⋅ 10 12 = R

Vamos realizar as multiplicações no numerador e no denominador:

2 ⋅ 4,59 = 9,18

4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 1,50 = 166,82

Substituindo na equação:

9,18 ⋅ 10 - 7 166,82 ⋅ 10 - 7   ⋅ 10 - 12 ⋅ 10 12 = R

Como temos 10 - 7 multiplicando no numerador e no denominador, podemos cortar:

9,18 166,82   ⋅ 10 - 12 ⋅ 10 12 = R

O produto entre potências de mesma base, mantemos a base a somamos os expoentes:

10 - 12 ⋅ 10 12 = 10 - 12 + 12 = 10 0

Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual a 1 :

10 0 = 1

Logo a igualdade se torna:

9,18 166,82   ⋅ 1 = R

Dividindo 9,18 por 166,82 temos o raio R :

R = 9,18 166,82 = 0,055 m

Não podemos esquecer que o raio é dado em metros!

R = 0,055   m = 55   m m

Resposta

R = 0,055   m = 55   m m