Exercícios Resolvidos de Equações de Maxwell

Ver Teoria

Enunciado

Os valores experimentais da permissividade elétrica e permeabilidade magnética de um dado material valem ϵ = 3 ϵ 0 / 2 e μ = 2 μ 0 , respectivamente. Determine a velocidade de propagação de um feixe de luz no material.

(a)   3 c 6

(b) c 3

(c) 3 c 3

(d)   3 c 2

(e) c

Passo 1

Vamos começar pela relação entre a velocidade v e a permissividade elétrica ϵ   e permeabilidade magnética μ é:

1 v 2 = μ ϵ

Onde o μ   e ϵ são os de um meio qualquer.

Passo 2

Se estivermos interessados no vácuo, temos que a velocidade da onda eletromagnética v é igual a velocidade da luz c , enquanto substituímos pelos valores fixos da permissividade elétrica do vácuo   ϵ 0   e permeabilidade magnética do vácuo μ 0 :

1 c 2 = μ 0 ϵ 0

Ou seja,

c 2 = 1 μ 0 ϵ 0

Passo 3

Substituindo os dados do enunciado:

ϵ = 3 ϵ 0 2

μ = 2 μ 0

Na equação:

1 v 2 = μ ϵ

Ficamos com:

1 v 2 = 2 μ 0 ⋅ 3 ϵ 0 2

Como temos um produto entre um número e uma fração, podemos simplificar em apenas uma fração:

1 v 2 = 2 μ 0 ⋅ 3 ϵ 0 2

Como temos tanto o número 2 no numerador fazendo uma multiplicação, quanto no denominador, podemos cortá-los:

1 v 2 = μ 0 ⋅ 3 ϵ 0

Invertendo os dois lados da igualdade, ficamos com:

v 2 = 1 μ 0 ⋅ 3 ϵ 0

Passo 4

Vimos no passo 1 que:

c 2 = 1 μ 0 ϵ 0

Então a equação:

v 2 = 1 μ 0 ⋅ 3 ϵ 0 = 1 3 ⋅ 1 μ 0 ϵ 0

Podemos fazer a seguinte substituição:

v 2 = 1 3 ⋅ 1 μ 0 ϵ 0 = 1 3 ⋅ c 2

Logo a relação entre a nova velocidade ao quadrado e a velocidade da luz ao quadrado, temos:

v 2 = c 2 3

Tirando a raiz quadrada dos dois lados da equação:

v 2 = c 2 3

Tirando raiz quadrada de um elemento elevado ao quadrado, voltamos ao elemento normal:

v = c 3

Racionalizando, devemos multiplicar por raiz de 3 em cima e em baixo:

v = c 3 ⋅ 3 3 = 3 ⋅ c 3 ⋅ 3

O produto de raiz quadrada por outra raiz quadrada é igual ao número original:

v = c 3 3

Chegamos a opção da letra “c”!

Resposta

c)   v = c 3 3