Deseja-se estimar simultaneamente:
i) A média, em, da concentração da substância em determinado produto químico; e
ii) A proporção de unidades desse produto nas quais a concentração de é superior a
Para isso foi coletada uma amostra piloto composta por 10 unidades amostrais desse produto, para as quais a concentração da substância , em , foi medida. Eis os resultados:
Para simplificar os cálculos, informam-se
Pergunta-se:
(a) Quais são as estimativas da média e do desvio padrão da concentração de, bem como da proporção , com base na amostra piloto?
(b) Qual o tamanho mínimo de uma nova amostra com base na qual se possa estimar a proporção de forma que o erro absoluto seja inferior a com de probabilidade?
(c) Se for utilizada essa mesma amostra dimensionada no item (b), qual a probabilidade de que na estimação de seja cometido um erro máximo de ?
Admita que o tamanho da amostra calculado no item (b) é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.
Passo 1
a)
Aqui basta calcularmos nossa média amostral, desvio padrão amostral, e proporção amostral! Aplicando as fórmulas:
Passo 2
b)
Usando a fórmula de dimensionamento da amostra:
Onde vai ser:
Já que 95% foi o nível de confiança pedido.
Então:
Substituindo tudo na fórmula:
Passo 3
c)
Lembrando que o erro de estimação é a diferença entre o valor do parâmetro populacional e do parâmetro amostral, o que queremos é:
Para padronizar isso aí, temos que dividir os dois lados por somente, pois a média já está ali no numerador. Usando como estimador para :
Resposta
a)
b)
c)