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Exercícios Resolvidos de Erro Absoluto de Estimação

Ver Teoria
Exercício 81234567

Enunciado

UFRJ – CCMN – IM – Departamento de Métodos Estatisticos. Segunda Avaliação de Probabilidade e Estatística

Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmações abaixo, justiçando sua resposta.

Considere que se deseja estimar uma proporção populacional p desconhecida com uma precisão especificada. Neste contexto, denote por n 1 o menor tamanho de amostra necessário para garantir tal precisão quando não se tem nenhuma informação sobre p e denote por n 2 o menor tamanho de amostra necessário caso tenhamos alguma informação sobre p (ou seja, se sorubermos que p pertence a algum intervalo a , b ⊂ ( 0,1 ) ) . Podemos afirmar que n 1 sempre será máximo 4 vezes superior a n 2 , ou seja, que n 1 ≤ 4 n 2 .

Passo 1

Nesse contexto, estamos buscando o menor valor de n que satisfaz a expressão P p ^ - p < d ≥ γ , para algum d > 0 e γ ∈ 0,1 . Considerando a distribuição assintótica p ^ ~ N p , p 1 - p n , temos que:

P p ^ - p < d ≥ γ ⟹ P - d < p ^ - p < d ≥ γ ⟹ P p ^ - p < d ≥ γ - 1 2

Assim

⟹ P p ^ - p p 1 - p n < d p 1 - p n ≥ γ + 1 2

Daí, denotando por Z α o quantil α da norma padrão, obtemos que:

d n p 1 - p ≥ Z γ + 1 2 ⟹ n ≥ Z γ + 1 2   p 1 - p d ⟹ n ≥ Z γ + 1 2 2   p 1 - p d 2 = C γ , d p 1 - p

Na qual C γ , d está simplesmente representando tudo que não depende de p naa expressão de n e que consequentemente não será relevante na nossa justificativa. Como buscamos o menor tamanho de amostra que satifaz a inequação acima, iremos tomar como resultado o menor n inteiro que satifaz a desisqualdade acima.

Quando não temos nenhuma informação sobre p , devemos substituir p = 0,5 na expressão de n , pois é o valor que maximiza a expressão, assim obtendo

n 1 = C γ , d 4

Quando sabemos que p ∈ [ a , b ] ⊂ 0,1 , iremos substituir p na expressão de n pelo valor mais próximo de 0,5 dentro do intervalo a , b . Caos esse valor seja tal que sua utilização na expressão leve a p 1 - p < 1 / 16 , teremos n 1 > 4 n 2 , refutando a afirmação. Isso ocorreria por exemplo se tivéssemos informação de que p ∈ 0 ; 0,05

Assim temos que a afirmação é falsa

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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