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Exercícios Resolvidos de Erro Absoluto de Estimação

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Exercício 21345678

Enunciado

De uma população normal com σ   =   3 , retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho 10 0 . Se quisermos garantir que uma análise do valor da média de alguma característica dessa população tenha o erro absoluto de estimação menor uma certa margem de erro com 90 % de confiança, qual deve ser a margem de erro adotada?

Passo 1

Nosso erro de estimação é em relação à média e vai é dado por:

| x - - x |

Nós queremos que esse erro seja menor que uma certa margem de erro d a um nível de confiança de 90 % . Dizer isso é a mesma coisa que escrever isso aqui:

P | x - - x | < d = 0,90

Queremos saber a probabilidade do erro ser menor que essa margem de erro!

Passo 2

Para descobrir esse d , podemos padronizar essa probabilidade, dividindo os dois lados da inequação ali dentro por σ n :

P | x - - x | σ n < d σ n = P Z < d σ n

Usando as propriedades do módulo na Normal temos:

P Z < d σ n = 2 Φ d σ n - 1

Mas nós sabemos que essa probabilidade tem que valor 0,90 , então:

2 Φ d σ n - 1 = 0,90

Φ d σ n = 0 , 95

Procurando 0,95 no corpo da tabela da Normal achamos o z = 1,64 , então:

d σ n = 1,64

Substituindo σ = 3 e n = 100 como dado no enunciado:

d 3 100 = 1,64 → d = 0,492

Resposta

49,2 %

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