Exercícios de Erro Absoluto de Estimação - Lista de Exercícios Resolvida

Foi realizada uma pesquisa de opinião em uma grande empresa visando, entre outras coisas, determinar o nível médio de satisfação dos empregados com as condições de trabalho a eles oferecidas (instalações, equipamentos, etc).

O índice de satisfação de cada empregado pode ser medido em uma escala de zero a cem pontos, e sua variabilidade é tal que o desvio padrão populacional é da ordem de 30 pontos. Se nessa pesquisa foram sorteados 324 empregados ao acaso para uma entrevista, qual a probabilidade de que o índice de satisfação médio seja estimado com erro absoluto menor que três pontos?

De uma população normal com , retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho . Se quisermos garantir que uma análise do valor da média de alguma característica dessa população tenha o erro absoluto de estimação menor uma certa margem de erro com de confiança, qual deve ser a margem de erro adotada?

Suponha que temos uma amostra de estudantes e queremos estimar quantos dentre eles estão no último semestre da faculdade. Qual a probabilidade de que o erro absoluto da nossa estimativa seja menor que ?

Definimos a variável como sendo o erro amostral da média, onde é a média de uma amostra aleatória de tamanho de uma população com distribuição Normal de média e desvio padrão .

1. Que proporção das amostras de tamanho 100 terá o valor absoluto do erro amostral maior do que 2 unidades?
2. Neste caso, qual deve ser o valor de para que ?

Uma empresa fabrica diodos usados em placas de circuito impresso. Digamos que tenha sido coletada uma amostra aleatória da linha de produção, com diodos, e que exatamente um número certo deles esteja fora das especificações. Deseja-se agora determinar a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa da proporção fora das especificações não ultrapasse 0,05.

Definimos a variável como sendo o erro amostral da média, onde é a média de uma amostra aleatória de tamanho de uma população com distribuição Normal de média e desvio padrão .

1. Que proporção das amostras de tamanho 100 terá o valor absoluto do erro amostral maior do que 2 unidades?
2. Neste caso, qual deve ser o valor de para que ?

Deseja-se estimar simultaneamente:

i) A média, em, da concentração da substância em determinado produto químico; e

ii) A proporção de unidades desse produto nas quais a concentração de é superior a

Para isso foi coletada uma amostra piloto composta por 10 unidades amostrais desse produto, para as quais a concentração da substância , em , foi medida. Eis os resultados:

Para simplificar os cálculos, informam-se

Pergunta-se:

(a) Quais são as estimativas da média e do desvio padrão da concentração de, bem como da proporção , com base na amostra piloto?

(b) Qual o tamanho mínimo de uma nova amostra com base na qual se possa estimar a proporção de forma que o erro absoluto seja inferior a com de probabilidade?

(c) Se for utilizada essa mesma amostra dimensionada no item (b), qual a probabilidade de que na estimação de seja cometido um erro máximo de ?

Admita que o tamanho da amostra calculado no item (b) é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmações abaixo, justiçando sua resposta.

Considere que se deseja estimar uma proporção populacional desconhecida com uma precisão especificada. Neste contexto, denote por o menor tamanho de amostra necessário para garantir tal precisão quando não se tem nenhuma informação sobre e denote por o menor tamanho de amostra necessário caso tenhamos alguma informação sobre (ou seja, se sorubermos que pertence a algum intervalo . Podemos afirmar que sempre será máximo 4 vezes superior a , ou seja, que .