Consideremos o problema de interpolação para , numa tabela de pontos igualmente espaçados com intervalo , usando um polinômio de grau. Fazendo , , mostre que:
Passo 1
Temos que:
Como estamos usando um polinômio interpolador de segundo grau, temos , e precisamos da derivada terceira de :
E temos que o valor máximo que assume em é . Sendo assim, substituindo e os valores de e dados:
Passo 2
Não é isso que queríamos né? Po, mas se é sempre menor que , então se acharmos o máximo do polinômio , então teremos um máximo geral para o erro! Vamos tentar isso!
O máximo de certamente é um ponto crítico de , então:
Substituindo esses valores na função:
Logo,
Substituindo, temos:
Aê, agora sim! Esse era o valor que precisávamos!
Passo 3
Repare que aquela informação dos pontos serem igualmente espaçados era só pra te enganar mesmo haha! Se usasse a fórmula você ia chegar em:
que não é o resultado que ele quer haha.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)