Equação Diferencial da Continuidade

Produzido por Raphael Eloi
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Teoria

Opa! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar sobre esse carinha super importante na Mecânica dos Fluidos, a Equação Diferencial da Continuidade?!

Equação da Continuidade

Talvez você já tenha ouvido falar em equação da continuidade e inclusive feito exercícios sobre no ensino médio, e ela tinha essa carinha aqui:

Equação da Continuidade
Equação da Continuidade

Basicamente o que essa equação tá dizendo pra a gente é que a vazão mássica que entra é igual a vazão mássica que sai . Ou seja, temos um regime permanente!

A questão é, essa velocidade é uma velocidade média! O que é ótimo, inclusive super útil, mas as vezes estamos interessados em um perfil de velocidade do escoamento. É ai que entra a forma diferencial da equação de continuidade!

Forma Diferencial da Equação da Continuidade

A equação da continuidade em sua forma diferencial vai ter essa carinha aqui:

Equação Diferencial da Continuidade.
Equação Diferencial da Continuidade.

Onde:

  • é o termo de acúmulo, que só vamos usar quando o regime for transiente;
  • são as velocidade nos eixos respectivamente;
  • é a densidade do fluido.

Mas calma, não se assusta! Vamos entender o contexto e depois a gente foca na fórmula!

📢 Clique para ver mais:

Na figura a baixo temos um escoamento dentro de uma tubulação. Com as informações que temos até agora, para calcular a velocidade na qual o fluido escoa, precisaríamos saber a área do tubo e a vazão mássica do fluido. Assim poderíamos encontrar a velocidade média do fluido!

Equação da Continuidade: Escoamento dentro de um tubo
Equação da Continuidade: Escoamento dentro de um tubo

Mas aqui a gente esta interessado em perfil de velocidade, lembra?

Pegando a imagem acima como exemplo e considerando um regime desenvolvido e laminar, teríamos um perfil de velocidade assim:

Perfil de velocidade
Perfil de velocidade

Para determinar esse perfil de velocidade, usamos a equação da continuidade na sua forma diferencial!

Beleza, mas na prática…nos exercícios, como eu uso a equação da continuidade na sua forma diferencial?!

Nesse vídeo abaixo a gente explica isso e mais um pouco! 👇 😉

Equação da Continuidade: Coordenadas Cilíndricas

A Equação da continuidade pode ser representada em coordenadas cilíndricas também. Só que nesse caso as componentes de velocidade são (velocidade radial), (velocidade circular) e (velocidade axial).

Equação da Continuidade: Coordenadas Cilíndricas
Equação da Continuidade: Coordenadas Cilíndricas

Agora vamos aplicar a equação da continuidade:

Escoamento dentro de um tubo
Escoamento dentro de um tubo

Vamos assumir um escoamento permanente, logo de cara já riscamos o termo de acúmulo . Como já falamos o escoamento tem velocidade na direção do eixo , então também podemos cortar as derivadas com velocidade angular e radial .

Dessa forma ficamos com a seguinte expressão:

Considerando que a densidade se mantém constante ao longo do escoamento:

E qual a interpretação física que podemos tirar disso?

A derivada de uma constante vai ser sempre igual a zero. Logo é constante e podemos dizer que ao longo do eixo a velocidade não muda!

-Mas quando teríamos velocidade angular ou radial ?

Para velocidade angular podemos imaginar uma máquina de lavar roupa, cheia de água no momento que ela esta centrifugando! Agora para velocidade radial imagina que você pegou uma mangueira de água tapou sua extremidade, onde a água sai e fez vários furinhos no cano! Quando você ligar a torneira a água vai esguichar no sentido radial!

Equação da Continuidade: Forma Vetorial

Podemos escrever nossas equações da seguinte maneira também, que é um pouco mais fácil de memorizar:

Sendo . Esse delta invertido é o que a gente chama de nabla, e no caso ele calcula o divergente do campo de velocidades. Isso nada mais é do que a derivada parcial de determinado termo nas direções do eixo de referência utilizado.

Agora vamos praticar com exercícios?

Equação da Continuidade: Coordenadas Cilíndricas

Equação da Continuidade: Forma Vetorial

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