Equação Diferencial da Continuidade
Produzido por Raphael EloiTeoria
Opa! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar sobre esse carinha super importante na Mecânica dos Fluidos, a Equação Diferencial da Continuidade?!
Equação da Continuidade
Talvez você já tenha ouvido falar em equação da continuidade e inclusive feito exercícios sobre no ensino médio, e ela tinha essa carinha aqui:

Basicamente o que essa equação tá dizendo pra a gente é que a vazão mássica que entra
A questão é, essa velocidade é uma velocidade média! O que é ótimo, inclusive super útil, mas as vezes estamos interessados em um perfil de velocidade do escoamento. É ai que entra a forma diferencial da equação de continuidade!
Forma Diferencial da Equação da Continuidade
A equação da continuidade em sua forma diferencial vai ter essa carinha aqui:

Onde:
é o termo de acúmulo, que só vamos usar quando o regime for transiente; são as velocidade nos eixos respectivamente; é a densidade do fluido.
Mas calma, não se assusta! Vamos entender o contexto e depois a gente foca na fórmula!
📢 Clique para ver mais:
- Equação da Continuidade: Exercícios Resolvidos
- Equações de Navier-Stokes
- Livro Fox - Introdução à Mecânica dos Fluidos - 8a Edição Resolvido Passo a Passo
Na figura a baixo temos um escoamento dentro de uma tubulação. Com as informações que temos até agora, para calcular a velocidade na qual o fluido escoa, precisaríamos saber a área do tubo e a vazão mássica do fluido. Assim poderíamos encontrar a velocidade média do fluido!

Mas aqui a gente esta interessado em perfil de velocidade, lembra?
Pegando a imagem acima como exemplo e considerando um regime desenvolvido e laminar, teríamos um perfil de velocidade assim:

Para determinar esse perfil de velocidade, usamos a equação da continuidade na sua forma diferencial!
Beleza, mas na prática…nos exercícios, como eu uso a equação da continuidade na sua forma diferencial?!
Nesse vídeo abaixo a gente explica isso e mais um pouco! 👇 😉
Equação da Continuidade: Coordenadas Cilíndricas
A Equação da continuidade pode ser representada em coordenadas cilíndricas também. Só que nesse caso as componentes de velocidade são

Agora vamos aplicar a equação da continuidade:

Vamos assumir um escoamento permanente, logo de cara já riscamos o termo de acúmulo
Dessa forma ficamos com a seguinte expressão:
Considerando que a densidade se mantém constante ao longo do escoamento:
E qual a interpretação física que podemos tirar disso?
A derivada de uma constante vai ser sempre igual a zero. Logo
-Mas quando teríamos velocidade angular
Para velocidade angular podemos imaginar uma máquina de lavar roupa, cheia de água no momento que ela esta centrifugando! Agora para velocidade radial imagina que você pegou uma mangueira de água tapou sua extremidade, onde a água sai e fez vários furinhos no cano! Quando você ligar a torneira a água vai esguichar no sentido radial!
Equação da Continuidade: Forma Vetorial
Podemos escrever nossas equações da seguinte maneira também, que é um pouco mais fácil de memorizar:
Sendo
Agora vamos praticar com exercícios?