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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 5

Dada as componentes das velocidades de dois escoamentos de fluidos incompressíveis:

A )   v x = x 2 - y           v y = x 3 - 2 x y     B ) v x = y 3 - 3 x 2 y v y = 3 x y 2 - x 3

  1. Verificar se os dois escoamentos são possíveis
  2. Verificar se são rotacionais ou irrotacionais
  3. No movimento rotacional, determinar o lugar geométrico dos pontos, tal que Ω → = 1 2 e → z

Passo 1

Item a)

A questão afirma que ambos os escoamentos são incompressíveis. Para ser incompressível deve-se respeitar a lei:

d i v   v → = 0 ⇒ ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y = 0

Para o escoamento A

∂ ( x 2 - y ) ∂ x + ∂ ( x 3 - 2 x y ) ∂ y = 0   ?

2 x - 2 x = 0   ?

0 = 0

Para o escoamento B

∂ ( y 3 - 3 x 2 y ) ∂ x + ∂ ( 3 x y 2 - x 3 ) ∂ y = 0   ?

- 6 x y + 6 x y = 0 ?

0 = 0

As igualdades são satisfeitas. Os escoamentos são possíveis.

Passo 2

Item B)

r o t   v → = ∂ v z ∂ y - ∂ v y ∂ z i → + ∂ v x ∂ z - ∂ z ∂ x j → + ∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y k →

Simplificando para duas dimensões:

r o t   v → = ∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y k →

Para o escoamento A:

r o t   v → A = ∂ ( x 3 - 2 x y ) ∂ x - ∂ ( x 2 - y ) ∂ y k →

r o t   v → A = 3 x 2 - 2 y + 1 k →

r o t   v → A ≠ 0

Para o escoamento B:

r o t   v → B = ∂ ( y 3 - 3 x 2 y ) ∂ x - ∂ ( 3 x 2 y - x 3 ) ∂ y k →

r o t   v → B = 3 x 2 - 3 x 2 k →

r o t   v → B = 0

O escoamento A é rotacional e o B é irrotacional

Passo 3

Item c)

Ω é dado por:

Ω → = 1 2 r o t   v →

Para o escoamento A

Ω → A = 1 2 r o t   v A →

Ω → A = 1 2 3 x 2 - 2 y + 1 k →

A questão afirma que: Ω A → = 1 2 k →

1 2 k → = 1 2 3 x 2 - 2 y + 1 k →

1   k → = 3 x 2 - 2 y + 1 k →

1 = 3 x 2 - 2 y + 1

O lugar geométrico é:

3 x 2 - 2 y = 0

Resposta

  1. As igualdades são satisfeitas. Os escoamentos são possíveis.
  2. O escoamento A é rotacional e o B é irrotacional
  3. 3 x 2 - 2 y = 0
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