Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Equações Adimensionalizadas

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Aplicação da Análise Dimensional nas equações básicas

Fala pessoal!

No assunto anterior a gente viu como usar o teorema Pi para gerar fatores adimensionais de expressões e como isso poderia reduzir a quantidade de experimentos a serem realizados.

Mas e se você tiver uma equação de algum fenômeno e queria adimensionalizá-la?

Pra a gente entender na prática como isso funciona, vamos pegar uma equação lá da física, a Equação do movimento uniformemente variável (MUV), carinhosamente chamada de Equação horária da posição:

S = S 0 + V 0 t + a t 2 2

Nessa equação temos a posição em função da posição inicial, velocidade inicial,tempo e aceleração de um objeto qualquer. Escrevendo isso de uma forma mais bonitinha, temos:

S = f ( S 0 , V 0 , t , a )

Temos 5 variáveis com as seguintes dimensões:

S = L

S 0 = L

V 0 = L T - 1

a = L T - 2

t = T

São 2 dimensões e 5 variáveis, logo segundo o Teorema Pi, devemos montar 3 grupos adimensionais. Cada grupo vai ter uma variável só dele, as outras duas variáveis vão ser repetidas

Escolhi S 0 e V 0 como variáveis repetitivas e S ,   a   e   t como variáveis fixas, para cada grupo Pi, com isso chegamos nesses 3 grupos adimensionais que vamos chamar de S * ,   t * e   a * .

Π 1 = S * = S S 0 ,     Π 2 = t * = V 0 S 0 t ,     Π 3 = a * = a S 0 V 0 ²

Agora, com os grupos adimensionais em mãos que a brincadeira começa! Vamos pergar esses grupos, e reescrever eles, isolando as variáveis fixas:

S = S * S 0

t = t * S 0 V 0

a = a * V 0 ² S 0

Substituindo na Equação horária da posição, temos:

( S * S 0 ) = S 0 + V 0 ( t * S 0 V 0 ) + 1 2 ( a * V 0 2 S 0 ) ( t * 2 S 0 2 V 0 2 )

Fazendo os devidos cancelamentos e divisões:

S * = 1 + t * + 1 2 a * t * 2

Esta é a equação adimensionalizada do MUV e nela podemos ver o efeito da aceleração a representada em a * na posição.

Em todas equações tentaremos definir os Pis e substituir com calma na equação, com a prática encontrar os Pis será cada vez mais tranquilo.

Então vamos lá praticar, não deixe de fazer nenhum exercício por nesta parte eles são absurdamente importantes pra entendermos a adimensionalização de equações.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

A Equação de Torricelli é dada por:

V ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Encontre a sua forma adimensional.

Passo 1

Então, primeiro exemplo bem simples mas que mostra muito da mecânica que vamos utilizar.

Podemos dizer que esta função é representada por:

V = f ( V 0 , a , ∆ S )

Temos quatro variáveis, com as dimensões:

V = L T - 1

V 0 = L T - 1

a = L T - 2

∆ S = L

Logo temos duas dimensões L e T . Portanto temos pelo menos dois grupos pi.

Passo 2

Vamos aplicar o que aprendemos na teoria anterior:

V 0 a ∆ S b V = L 0 T 0

L T - 1 a L b L T - 1 = L 0 T 0

Logo temos o seguinte sisteminha:

a + b + 1 = 0 - a - 1 = 0

Logo a = - 1 e b = 0

Chegamos ao primeiro Pi que vamos chamar de V *

V * = V V 0

O segundo, aplicando o mesmo raciocínio para a :

V 0 a ∆ S b a = L 0 T 0

L T - 1 a L b L T - 2 = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - a - 2 = 0

a = - 2 ,   b = 1

Logo o segundo adimensional é:

a * = ∆ S V 0 2 a

Passo 3

Portanto para adimensionalizarmos nossa equação, vamos começar a substituir estes adimensionais da seguinte maneira:

V * = V V 0 é o mesmo que V = V * V 0 :

V * V 0 ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Logo ficamos com a equação:

V * 2 = V 0 2 V 0 2 + 2 a ∆ S V 0 2

V * 2 = 1 + 2 a ∆ S V 0 2

Repare que a * aparece também!

Olha só esse termo em parênteses:

V * 2 = 1 + 2 ∆ S V 0 2 a

Logo,

V * 2 = 1 + 2 a *

Que é nossa equação adimensionalizada.

Observação: esse método vale sempre, basta identificar as variáveis mais simples de se substituir nas equações, neste caso era V .

Resposta

V * 2 = 1 + 2 a *

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Agora que já vimos como adimensionalizar equações usando o Teorema Pi, vamos adimensionalizar a primeira equação básica de Mecânica dos Fluidos: a Equação da Continuidade:

∇ ∙ V = 0

Sendo um escoamento com velocidade no infinito V ∞ ao redor de um cilindro de diâmetro D .

Passo 1

Beleza galera, vamos tentar escrever esse enunciado como se fosse um problema de grupos adimensionais, porém ele tem uma sacada.

Todo problema de adimensionalização em MecFlu tem essas variáveis características, seriam como nossas condições do contorno do problema, no caso V ∞ e D .

Então nossa função fica:

∇ ∙ V = f ( V ∞ , L )

Ué mas isso é diferente do outro exercício!

Calma, no outro exercício não estávamos lidando com equações diferenciais. Que lidam com valores infinitésimos.

Mas identificadas as variáveis características conseguimos resolver!

Passo 2

Vamos aplicar o teorema.

Temos 3 variáveis e 2 dimensões, L e T .

Logo temos apenas um grupo Pi.

V ∞ a D b ∇ ∙ V = L 0 T 0

Qual a unidade de ∇ ∙ V ?

Lembre-se que isso pod ser escrito como:

∂ ∂ x , ∂ ∂ y ∙ u , v

Ou seja um produto de

1 L ∙ L T = 1 T = T - 1

Logo o problema fica como:

L T - 1 a L b T - 1 = L 0 T 0

Temos o sistema:

a + b = 0 - a - 1 = 0

Onde a = - 1 e b = 1

Portanto o adimensional é:

∇ * ∙ V * = D V ∞ ∇ ∙ V

Passo 3

Para substituirmos na equação basta escrever:

∇ ∙ V = V ∞ D ∇ * ∙ V *

Substituindo:

∇ ∙ V = 0

V ∞ D ∇ * ∙ V * = 0

Como D e V ∞ são constantes, podemos cancelar:

∇ * ∙ V * = 0

Observação: Por que escrevemos ∇ * ∙ V * e não ∇ ∙ V * ?

Simplesmente por que é mais comum representar dessa forma.

Existem deduções que pulam algumas etapas do teorema Pi, que não acho muito triviais para quem acabou de começar a estudar adimensionalização. O passo a passo do teorema Pi é algo bem mecânico e quase infalível.

É o que eu falei: com a prática você já vai identificar alguns grupos pis só olhando para as variáveis. E talvez nem aplique o teorema diretamente.

Resposta

∇ * ∙ V * = 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

As equações de Navier-Stokes podem ser escritas na forma vetorial como:

ρ g → - ∇ p + μ ∇ ² V   = ρ d V d t

Adimensionalize a parcela transversal da equação para um escoamento bidimensional:

ρ g - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = ρ d v d t

Sendo que o escoamento tem como referência um comprimento L , uma velocidade de entrada U e uma massa específica ρ .

Quais são os fatores adimensionais que apareceram?

Passo 1

Então pessoal vamos com calma, vamos encontrar as variáveis do problema:

v , x , y , z , t , ρ , p , g , μ

Vamos dizer que a função que temos é

v = f ( x , y , z , t , ρ , μ , g , p )

Temos então nove variáveis. Com as seguintes diemensões:

v = L T - 1

x = L

y = L

t = T

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

g = L T - 2

p = M L - 1 T - 2  

Logo temos apenas 3 dimensões, o que nos dá pelo menos 6 grupos pis.

Sei que parece muito mas veremos que é muito mais simples. Lembre-se de usar as variáveis repetitivas U ,   L e ρ .

Passo 2

Encontraremos o primeiro grupo pi, que arbitrariamente será o de g :

U a L b ρ c g = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L T - 2 = M 0 L 0 T 0

Lembrando que montamos o sistema igualando os expoentes de M , L , T . Logo o sistema fica:

a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0 c = 0

Neste caso: c = 0 , a = - 2 , b = 1 .

Nosso primeiro adimensional é

g * = g L U 2

Adimensionaremos agora o tempo t :

U a L b ρ c t = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c T = M 0 L 0 T 0

O sistema é:

a + b - 3 c = 0 - a + 1 = 0 c = 0

A solução é c = 0 , a = 1 , b = - 1 . O que nos dá o adimensional:

t * = U L t

Seguinto nossas adimensionalizações, agora para a pressão p :

U a L b ρ c p = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 2 = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 2 = 0 c + 1 = 0

A solução fica c = - 1 , a = - 2 e b = 0

p * = p ρ U 2

Próxima adimensionalização é de μ :

U a L b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 1 = 0 c + 1 = 0

c = - 1 , a = - 1 , b = - 1 :

μ * = μ ρ U L

Adimensionalização de v :

U a L b ρ c v = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L T - 1 = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 1 = 0 c = 0

a = - 1 , c = 0 , b = 0

v * = v U

A adimensionalização de x , y , z é a mesma pois tem a mesma dimensão:

U a L b ρ c x = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c L = M 0 L 0 T 0

a + b - 3 c + 1 = 0 - a = 0 c = 0

a = 0 , c = 0 , b = - 1

x * = x L

Passo 3

Repare que encontramos 8 grupos pis e não 6 , calma que não tem problema, provavelmente termos alguma redundância, ou seja, coisas se repetirão.

Vamos com calma olhando cada termo e as peculizaridades de de adimensionalizar derivadas e infinitésimos.

Começaremos substituindo os nossos adimensionais em ρ d v d t :

Podemos escrever v = v * U e t = L U t * , substituindo na expressão:

ρ d L U d t * v * U

Sendo d t = L U d t *

ρ U 2 L d v * d t *

Como U é constante pode sair da derivada.

Aplicando o mesmo procedimento aos outros termos:

μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 :

μ * ρ U L U L ² ∂ 2 v * ∂ x * 2 + ∂ 2 v * ∂ y * 2 = μ * ρ U 2 L ∂ 2 v * ∂ x * 2 + ∂ 2 v * ∂ y * 2

- ∂ p ∂ y :

- ρ U 2 L ∂ p * ∂ y *

ρ g :

ρ U 2 L g *

O que nos dá a seguinte equação:

ρ U 2 L g * - ρ U 2 L ∂ p * ∂ y * + μ * ρ U 2 L ∂ 2 v * ∂ x * 2 + ∂ 2 v * ∂ y * 2 = ρ U 2 L d v * d t *

Perceba que o fator ρ U 2 L aparece em todos os termos então podemos dividir a equação toda por isso, logo:

g * - ∂ p * ∂ y * + μ * ∂ 2 v * ∂ x * 2 + ∂ 2 v * ∂ y * 2 = d v * d t *

Que é nossa forma adimensional da equação Navier-Stokes.

Passo 4

Se olharmos os termos g * e μ * , temos dois números muito conhecidos:

g * = g L U 2 = 1 F r ²

μ * = μ ρ U L = 1 R e

Os famosos números de Froude e Reynolds. Podemos dizer que a equação é então:

1 F r ² - ∂ p * ∂ y * + 1 R e ∂ 2 v * ∂ x * 2 + ∂ 2 v * ∂ y * 2 = d v * d t *

Resposta

1 F r ² - ∂ p * ∂ y * + 1 R e ∂ 2 v * ∂ x * 2 + ∂ 2 v * ∂ y * 2 = d v * d t *

Apareceram o número de Froude F r e de Reynolds R e .

Exercício Resolvido #4

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

A equação diferencial para vibrações de pequena amplitude y ( x ,   t ) de uma viga simples é dada por

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2   + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

em que

ρ = massa específica do material da viga

A = área da seção transversal

I = momento de inércia de área

E = módulo de Young

Use apenas as grandezas ρ ,   E e A para adimensionalizar y ,   x e t e reescreva a equação diferencial na forma adimensional. Alguns parâmetros permanecem? Eles poderiam ser eliminados por manipulações adicionais de variáveis?

Passo 1

Agora que já adimensionalizamos as duas equações básicas da Mecânica dos Fluidos, vamos aplicar o conceito a outras equações e ver que podemos ter efeitos úteis nos nossos estudos.

No caso o exercício já nos diz quais variáveis repetitivas utilizar ρ , E , A e quais adimensionais queremos y * , x * , t * .

As unidades de cada um são:

ρ = M L - 3

E = M L - 1 T - 2

A = { L 2 }

y = L

x = L

t = T

Passo 2

Formaremos o grupo pi adimensional y * :

ρ a E b A c y = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 2 b { L 2 } c L = M 0 L 0 T 0

Logo nosso sisteminha tem a cara:

a + b = 0 - 3 a - b + 2 c + 1 = 0 - 2 b = 0

A solução é b = 0 , a = 0 , c = - 1 2

Portanto,

y * = y A

Como x tem a mesma dimensão, espera-se o mesmo comportamento, logo

x * = x A

Para t * :

ρ a E b A c t = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a M L - 1 T - 2 b { L 2 } c T = M 0 L 0 T 0

a + b = 0 - 3 a - b + 2 c = 0 - 2 b + 1 = 0

A solução é b = 1 2 , a = - 1 2 , c = - 1 2

t * = t E ρ A

Passo 3

Substituindo na equação:

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

ρ A E ρ A 2 ∂ 2 ∂ t * 2 y * A + E I A 4 ∂ 4 ∂ x * 4 y * A = 0

Arrumando a casa:

E A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E I A 3 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Passo 4

Vemos que ainda podemos eliminar E da equação, pois está em ambos fatores:

A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 3 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Se analisarmos as dimensões que sobraram vemos que:

A = L

I A 3 = L 4 L 3 = { L }

Ou seja aind anão está totalmente adimensionalizada a equação. Poderíamos simplesmente dividir ambos lados da equação por A , e consequentemente teríamos uma equação completamente adimensional.

O resultado então é:

∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 2 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Resposta

A ∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 3 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Após manipulações:

∂ 2 y * ∂ t * 2 + I A 2 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Exercício Resolvido #5

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte:

u ∂ C ∂ x   = D ∂ 2 C ∂ x 2 - k C -   ∂ C ∂ t

na qual u é a velocidade, D é um coeficiente de difusão, k é a taxa de reação, x é a distância ao longo do reator e C é a concentração (adimensional) de um dado componente químico no reator. ( a ) Determine as dimensões apropriadas de D e k . ( b ) Usando um comprimento de escala L característico e uma velocidade média V como parâmetros, reescreva essa equação na forma adimensional e comente sobre quaisquer grupos pi que aparecerem.

Passo 1

Vamos determinar nossa função e variáveis para aplicar o teorema Pi

u = f x , C , D , k , t

Vamos dizer as dimensões das variáveis mais conhecidas antes de determinar qual a dimensão de D e k :

u = L T - 1

C = 1 → a d i m e n s i o n a l

x = L

t = T

a Como temos uma equação, termo que se somam devem ter as mesmas dimensões para isso ser possível, vamos determinar então a dimensão da função olhando o lado esquerdo da expressão:

u ∂ C ∂ x = L T - 1 1 L

u ∂ C ∂ x = { T - 1 }

Logo todos termos tem essa mesma dimensão, logo:

k C = { T - 1 }

k = T - 1 1 = { T - 1 }

E para D :

D ∂ 2 C ∂ x 2 = { T - 1 }

D = T - 1 L 2 1 = L 2 T - 1

Passo 2

Dados um comprimento característico L e uma velocidade V , vamos adimensionalizar a equação. Repare que só temos duas dimensões no problema, logo precisamos de duas variáveis repetitivas como o problema fornece.

Começaremos por u

L a V b u = L 0 T 0

L a L T - 1 b L T - 1 = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - b - 1 = 0

b = - 1 ,   a = 0

Logo o primeiro Pi é:

u * = u V

O segundo pi, de x :

L a V b x = L 0 T 0

L a L T - 1 b L = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - b = 0

b = 0 ,   a = - 1

x * = x L

O terceiro, de t :

L a V b t = L 0 T 0

L a L T - 1 b T = L 0 T 0

a + b = 0 - b + 1 = 0

b = 1 ,   a = - 1

t * = V L t

O quarto, de D :

L a V b D = L 0 T 0

L a L T - 1 b L 2 T - 1 = L 0 T 0

a + b + 2 = 0 - b - 1 = 0

b = - 1 ,   a = - 1

D * = D V L

E finalmente o quinto, de k :

L a V b k = L 0 T 0

L a L T - 1 b { T - 1 } = L 0 T 0

a + b = 0 - b - 1 = 0

b = - 1 ,   a = 1

k * = L V k

Passo 3

Substituindo na equação, começando pelas derivadas:

u ∂ C ∂ x = D ∂ 2 C ∂ x 2 - k C - ∂ C ∂ t

u 1 L ∂ C ∂ x * = D 1 L 2 ∂ 2 C ∂ x * 2 - k C - L V ∂ C ∂ t *

Substituindo u ,   D ,   k :

V L u * ∂ C ∂ x * = V L L 2 D * ∂ 2 C ∂ x * 2 - V L k * - V L ∂ C ∂ t *

V L u * ∂ C ∂ x * = V L D * ∂ 2 C ∂ x * 2 - V L k * - V L ∂ C ∂ t *

Logo

u * ∂ C ∂ x * = D * ∂ 2 C ∂ x * 2 - k * - ∂ C ∂ t *

Temos dois adimensionais D * e k * que são

D * = D V L → N ú m e r o   d e   P e c l e t   ( d i f u s ã o   d e   m a s s a )

k * = k L V

Resposta

a D = L 2 T - 1   e   k = T - 1

b u * ∂ C ∂ x * = D * ∂ 2 C ∂ x * 2 - k * - ∂ C ∂ t *

D * = D V L   e   k * = k L V

Exercício Resolvido #6

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 343, ex. P 5.43

Adimensionalize a equação da energia e sua condição de contorno definindo T * =   T / T 0 , em que T 0 é a temperatura de entrada, considerada constante. Use outras variáveis adimensionais, se necessário conforme indicado abaixo. Isole todos os parâmetros adimensionais que você encontrar e verifique se já são conhecidos.

Equação da Energia

ρ c p d T d t = k ∇ 2 T + Φ

Onde k é coeficiente de condutividade térmica e Φ é a função de dissipação viscosa

Condição de contorno

T f l u i d o = T p a r e d e

Variáveis adimensionais

x * = x L         y * = y L       z * = z L  

t * = t U L

Passo 1

Essa equação pode parecer um pouco complicada por causa das derivadas de temperatura...

ρ c p d T d t = k ∇ 2 T + Φ

Aliás, não vamos nos esquecer que essa equação pode ser aberta assim:

ρ c p d T d t = k ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 + Φ

Maaas, o enunciado foi maneiro com a gente e já deu as variáveis adimensionais para a gente começar! Isso vai nos poupar muitas contas. Então vamos lá?

Essas são as variáveis da equação original

ρ , c p , T , t , k ,   x , y , z , Φ

São nove variáveis. Suas dimensões são:

ρ = M L - 3

T =   Θ

c p = M L T - 2 L M Θ =   L 2 T - 2 Θ - 1

t = T

k =   M L T - 2 L T - 1 L Θ = M L T - 3 Θ - 1

x = L

y = L

z = L

Φ =   M L - 1 T - 3  

Temos então 4 dimensões. Logo, 9 - 4   =   5 grupos pi

O enunciado já dá 5 variáveis adimensionais! Olha aí

x * = x L   ⇒ x = L x *

y * = y L ⇒ y = L y *

  z * = z L ⇒ z = L z *

t * = t U L ⇒ t = L U t *

T * =   T / T 0 ⇒ T = T 0 T *

Então, já vamos substituir na equação original no próximo passo. Nos poupou o trabalho de calcular cada grupo pi 😉

Passo 2

Equação original:

ρ c p d T d t = k ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 + Φ

Substituindo as variáveis adimensionais

ρ c p d T 0 T * d L t * U = k ∂ 2 T 0 T * ∂ L x * 2 + ∂ 2 T 0 T * ∂ L y * 2 + ∂ 2 T 0 T * ∂ L z * 2 + Φ

ρ c p U T 0 L d T * d t * = k T 0 L ∂ 2 T * ∂ x * 2 + ∂ 2 T * ∂ y * 2 + ∂ 2 T * ∂ z * 2 + Φ

Isolando d T * / d t *

d T * d t * = k T 0 L L ρ c p U T 0 ∂ 2 T * ∂ x * 2 + ∂ 2 T * ∂ y * 2 + ∂ 2 T * ∂ z * 2 + L ρ c p U T 0 Φ

d T * d t * = k ρ c p U ∂ 2 T * ∂ x * 2 + ∂ 2 T * ∂ y * 2 + ∂ 2 T * ∂ z * 2 + L ρ c p U T 0 Φ

Podemos escrever assim também:

d T * d t * = k ρ c p U ∇ 2 T * + L ρ c p U T 0 Φ

Quase toda a equação está adimensionalizada, mas Φ ainda não está escrita da forma adimensional. Lembrando que

Φ =   M L - 1 T - 3

Φ =   M L - 1 T - 1 T - 2

Sendo que M L - 1 T - 1 é a dimensão da viscosidade. Para garantir o T - 2 , podemos multiplicar pela razão entre velocidade e comprimento de referência ao quadrado. Hã? Calma que eu te mostro na equação:

Φ =   μ U 2 L 2 Φ *

Conferindo as dimensões:

μ U 2 L 2 =   M L - 1 T - 1 ( L T - 1 ) 2 L 2 = M L - 1 T - 1 L 2 T - 2 L 2

μ U 2 L 2 =   M L - 1 T - 1 T - 2 = M L - 1 T - 3

Que é a mesma unidade de Φ , o que deixa ele adimensional, como queria te mostrar 😉

Voltando à equação

d T * d t * = k ρ c p U ∇ 2 T * + L ρ c p U T 0 Φ

Substituindo Φ =   μ U 2 L 2 Φ *

d T * d t * = k ρ c p U ∇ 2 T * + L ρ c p U T 0   μ U 2 L 2 Φ *

Organizando

d T * d t * = k ρ c p U ∇ 2 T * + U 2 c p T 0   μ   ρ U L Φ *

Estamos chegando lá! Essa é a equação adimensionalizada. Mas, será que esses números adimensionais aí são conhecidos?

Passo 3

Primeiro, vamos pensar no nosso amigo Reynolds. Onde ele está?

R e =     ρ V D μ o u   R e =   ρ U L μ

Logo:

d T * d t * = k ρ c p U ∇ 2 T * + U 2 c p T 0   1   R e Φ *

Show! Faltam 2 números adimensionais. Esses não são tão conhecidos. Geralmente, uma tabela é fornecida para você encontrá-los. Uma tabela parecida com essa, por exemplo:

E aí, a gente vê que o número de Eckert está na nossa equação também

d T * d t * = k ρ c p U ∇ 2 T * + E c   1   R e Φ *

Além disso, ρ c p U / k é conhecido como Número de Péclet. Logo:

d T * d t * = 1 P e ∇ 2 T * +   E c R e Φ *

Passo 4

Finalmente, para adimensionalizar a condição de contorno, vamos nos basear nas referências que já foram assumidas.

T f l u i d o = T p a r e d e

A temperatura de referência é a temperatura de entrada T 0 , logo

T * f l u i d o p a r e d e =   T p a r e d e T 0

YES! Encontramos tudo que o exercício pediu! :D

Resposta

d T * d t * = 1 P e ∇ 2 T * +   E c R e Φ *

T * f l u i d o p a r e d e =   T p a r e d e T 0

Apareceram o número de Reynolds R e , Péclet ( P e ) e Eckert ( E c )

Exercício Resolvido #7

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 343, ex. P 5.44

A equação diferencial da energia para escoamento bidimensional incompressível através de um meio poroso do “tipo Darcy” é aproximadamente

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

em que σ é a permeabilidade do meio poroso. Todos os outros símbolos têm seus significados usuais. ( a ) Quais são as dimensões apropriadas para σ ? ( b ) Adimensionalize essa equação, usando ( L ,   U ,   ρ , T 0 ) como constantes de escala, e discuta quaisquer parâmetros adimensionais que aparecerem.

Passo 1

Nossa primeira missão é encontrar a dimensão de σ , a permeabilidade. Partiu analisar a equação com esse objetivo

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

Como é uma equação com 3 parcelas igualando a zero, as dimensões de cada parcela devem ser as mesmas para soma fazer sentido. Essa é a sacada.

Vamos comparar as dimensões então da primeira a parcela com a terceira. (Obs: Poderíamos comparar também a segunda parcela com a terceira, daria no mesmo)

Mas antes, vamos identificar as variáveis e suas dimensões

ρ , c p , σ ,   μ ,   p ,   x ,   y ,   T ,   k

São 9 variáveis e suas dimensões são:

ρ = M L - 3

c p = E n e r g i a M a s s a .   T e m p e r a t u r a = M L T - 2 L M Θ = L 2 T - 2 Θ - 1

σ = q u e r e m o s   d e s c o b r i r !

  μ =   M L - 1 T - 1

p =   F o r ç a Á r e a = M L T - 2 L 2 = M L - 1 T - 2

x = L

y = L

T =   Θ

k = P o t ê n c i a c o m p r i m e n t o . T e m p e r a t u r a =   M L T - 2 L T - 1 L Θ = M L T - 3 Θ - 1

Substituindo as dimensões na primeira parcela

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x = M L - 3 L 2 T - 2 Θ - 1 σ M L - 1 T - 1 M L - 1 T - 2 L Θ L

Simplificando

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x = M L - 3 T - 3 σ

Substituindo as dimensões na terceira parcela

k ∂ 2 T ∂ y 2 = M L T - 3 Θ - 1 Θ L 2 = M L - 1 T - 3

Para comparar as dimensões, vamos igualar as dimensões de cada parcela

M L - 3 T - 3 σ = M L - 1 T - 3

σ = L 2

A dimensão da permeabilidade σ é comprimento ao quadrado. Boa! Próxima letra.

Passo 2

Agora é hora de adimensionalizar a equação. Lembra que já temos algumas referências: L ,   U ,   ρ , T 0

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

Com as referências, já podemos dizer que:

x * = x L   ⇒ x = L x *

y * = y L ⇒ y = L y *

T * =   T T 0 ⇒ T = T 0 T *

Além disso, para adimensionalizar a pressão p =   M L - 1 T - 2 , precisamos usar U e ρ

p * = p ρ U 2 =   M L - 1 T - 2 M L - 3 L T - 1 2 =   M L - 1 T - 2 M L - 1 T - 2 = { 1 }

Logo

p * = p ρ U 2 ⇒ p = ρ U 2 p *

Então vamos substituir essas expressões na equação original

ρ c p σ μ ∂ p ∂ x ∂ T ∂ x + ρ c p σ μ ∂ p ∂ y ∂ T ∂ y + k ∂ 2 T ∂ y 2 = 0

ρ c p σ μ ∂ ρ U 2 p * ∂ L x * ∂ T 0 T * ∂ L x * + ρ c p σ μ ∂ ρ U 2 p * ∂ L y * ∂ T 0 T * ∂ L y * + k ∂ 2 T 0 T * ∂ L y * 2 = 0

Colocando as constantes para fora das derivadas parciais

ρ c p ρ U 2 T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ρ c p ρ U 2 T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + k T 0 L 2 ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Simplificando e colocando em evidência

ρ 2 U 2 c p T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + k T 0 L 2 ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Multiplicando por L 2 / k T 0

L 2 k T 0 ρ 2 U 2 c p T 0 L 2 σ μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Simplificando

ρ 2 U 2 c p σ k μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Opa! Encontramos aqui a equação adimensionalizada. Temos o fator adimensional

ρ 2 U 2 c p σ k μ

Esse não é nenhum número adimensional muito conhecido aqui em MecFlu.

Resposta

a) σ = L 2

b)

ρ 2 U 2 c p σ k μ ∂ p * ∂ x * ∂ T * ∂ x * + ∂ p * ∂ y * ∂ T * ∂ y * + ∂ 2 T * ∂ y * 2 = 0

Exercício Resolvido #8

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 343, ex. P 5.46

A equação diferencial para o escoamento não viscoso compressível de um gás no plano xy é

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 +   u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

na qual ϕ é o potencial de velocidade e a é a velocidade (variável) do som do gás. Adimensionalize essa relação, usando um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada a 0 como parâmetros para definir variáveis adimensionais.

Passo 1

Temos uma equação bem grandinha, mas o enunciado já dá as referências. Vamos começar então identificando as variáveis e suas dimensões.

ϕ ,   t ,   u ,   v ,   a ,   x ,   y

São 7 variáveis. Agora, vamos encontrar suas dimensões

t = T

u = L T - 1

v = L T - 1

a = L T - 1

x = L

y = L

E qual a dimensão do potencial de velocidade ϕ ? Para essa equação ser consistente, as parcelas precisam ter as mesmas dimensões.

A estratégia para encontrar as dimensões de uma variável que ainda não conhecemos é comparar as dimensões de uma parcela que tenha essa variável com as dimensões de outra parcela que a gente já conheça.

Nesse exercício, vamos comparar a primeira e a segunda parcela. Primeira:

∂ 2 ϕ ∂ t 2 =   ϕ T 2

Segunda parcela:

∂ ∂ t u 2 + v 2 =   L T - 1 2 T = L 2 T - 3

Igualando as dimensões das parcelas

ϕ T 2 = L 2 T - 3 ⇒ ϕ = L 2 T - 1

Yeees! Agora sim. Encontramos as dimensões das 7 variáveis e elas contém apenas 2 das dimensões básicas. 7   –   2   =   5  

Então vamos utilizar 5 grupos pi para adimensionalizar nossa equação. :D

Passo 2

Notícia boa: o enunciado já deu algumas referências: um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada a 0

Então, podemos definir como variáveis adimensionais x * e y * ao dividir as variáveis originais x e y pelo comprimento de referência L

x * = x L   ⇒ x = L x *

y * = y L ⇒ y = L y *

Analogamente, podemos definir as velocidades adimensionais u * , v * e a * como a razão entre u ,   v ,   a pela velocidade do som de entrada a 0 respectivamente

u * =   u a 0 ⇒ u = a 0 u *

v * =   v a 0 ⇒ v = a 0 v *

a * =   a a 0 ⇒ a = a 0 a *

Por sua vez, o tempo adimensional é definido em termos de a 0 e L

t * = a 0 L t =   L T - 1 L T = { 1 }

Logo

t * = a 0 t L ⇒ t = L t a 0 *

Além disso, o potencial de velocidade é adimensionalizado assim:

ϕ * = ϕ a 0 L =   L 2 T - 1 L T - 1 L = { 1 }

Então

ϕ * = ϕ a 0 L ⇒ ϕ = a 0 L ϕ *

Já temos as variáveis adimensionalizadas. Agora vamos substituir na equação original:

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 +   u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

Substituindo

∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ L t a 0 * 2 + ∂ ∂ L t a 0 * ( a 0 u * ) 2 + ( a 0 v * ) 2 +   ( a 0 u * ) 2 - ( a 0 a * ) 2 ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ ( L x * ) 2 + ( a 0 v * ) 2 - ( a 0 a * ) 2 ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ ( L y * ) 2 + 2 ( a 0 u * ) ( a 0 v * ) ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ ( L x * ) ∂ ( L y * ) = 0

Essa equação ficou enorme! Mas relaxa, daqui para frente não vai ter nada de surreal. Só vamos precisar de paciência para reorganizar isso aí e deixar bacana a resposta final 😉

Vamos lá! Mãos à obra. Colocando as constantes para fora das derivadas:

a 0 L L a 0 2 ∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + a 0 2 L a 0 ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   a 0 3 L L 2 u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + a 0 3 L L 2 v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + a 0 3 L L 2 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Tá diminuindo, vamos continuar

a 0 3 L ∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + a 0 3 L ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   a 0 3 L u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + a 0 3 L v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + a 0 3 L 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

a 0 e   L são constantes, então, já que a 0 3 L aparece em todas as parcelas da equação, podemos cancelar

∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Ufa! Adimensionalizamos a equação. E não apareceu nenhum número adimensional conhecido. Missão cumprida. :D

Resposta

∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 +   u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2   u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Exercícios de Livros Relacionados

A inclinação da superfície livre de uma onda em regime permanente em um escoamento unidimensional em uma camada de líquido pouco profunda é descrito pela equação ∂ h ∂ x = - u g ∂ u ∂ x Use um escala
A equação que descreve a vibração de pequena amplitude de uma viga é ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0 em que y é a deflexão da viga no local x e no tempo t , ρ e E são a massa específica e o módu
O teorema de transporte de Reynolds (TTR) é discutido no Capítulo 4. Para o caso geral de um volume de controle móvel c/ou deformável, escrevemos o TTR da seguinte maneira:onde V r → é a velocidade re
Uma aplicação importante da mecânica dos fluidos é o estudo da ventilação de uma sala. Em particular, suponhamos que há uma fonte 5 (massa por unidade de tempo) de poluição do ar em uma sala de volume
Considere a ventilação de uma sala bem misturada como aquela da Figura P7-25. A equação diferencial da concentração de massa na sala como função do tempo é dada no Problema 7-25 e é repetida aqui por