Teoria

Aplicação da Análise Dimensional nas equações básicas

Fala pessoal!

No assunto anterior a gente viu como usar o teorema Pi para gerar fatores adimensionais de expressões e como isso poderia reduzir a quantidade de experimentos a serem realizados.

Mas e se você tiver uma equação de algum fenômeno e queria adimensionalizá-la?

Pra a gente entender na prática como isso funciona, vamos pegar uma equação lá da física, a Equação do movimento uniformemente variável (MUV), carinhosamente chamada de Equação horária da posição:

S = S 0 + V 0 t + a t 2 2

Nessa equação temos a posição em função da posição inicial, velocidade inicial,tempo e aceleração de um objeto qualquer. Escrevendo isso de uma forma mais bonitinha, temos:

S = f ( S 0 , V 0 , t , a )

Temos 5 variáveis com as seguintes dimensões:

S = L

S 0 = L

V 0 = L T - 1

a = L T - 2

t = T

São 2 dimensões e 5 variáveis, logo segundo o Teorema Pi, devemos montar 3 grupos adimensionais. Cada grupo vai ter uma variável só dele, as outras duas variáveis vão ser repetidas

Escolhi S 0 e V 0 como variáveis repetitivas e S ,   a   e   t como variáveis fixas, para cada grupo Pi, com isso chegamos nesses 3 grupos adimensionais que vamos chamar de S * ,   t * e   a * .

Π 1 = S * = S S 0 ,     Π 2 = t * = V 0 S 0 t ,     Π 3 = a * = a S 0 V 0 ²

Agora, com os grupos adimensionais em mãos que a brincadeira começa! Vamos pergar esses grupos, e reescrever eles, isolando as variáveis fixas:

S = S * S 0

t = t * S 0 V 0

a = a * V 0 ² S 0

Substituindo na Equação horária da posição, temos:

( S * S 0 ) = S 0 + V 0 ( t * S 0 V 0 ) + 1 2 ( a * V 0 2 S 0 ) ( t * 2 S 0 2 V 0 2 )

Fazendo os devidos cancelamentos e divisões:

S * = 1 + t * + 1 2 a * t * 2

Esta é a equação adimensionalizada do MUV e nela podemos ver o efeito da aceleração a representada em a * na posição.

Em todas equações tentaremos definir os Pis e substituir com calma na equação, com a prática encontrar os Pis será cada vez mais tranquilo.

Então vamos lá praticar, não deixe de fazer nenhum exercício por nesta parte eles são absurdamente importantes pra entendermos a adimensionalização de equações.

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