Difusão em Regime Transiente
Produzido por Giovanna RonzéTeoria
Vamos juntos para mais um tópico! Se ligou que estamos saindo do regime permanente, né? Mas o que vai mudar na nossa vida com esse tal de Regime Transiente?
Dá uma olhada aqui, temos um recipiente com um líquido qualquer dentro dele, temos uma concentração inicial () e uma concentração final ().
O que aconteceu é que, nesse exemplo, a concentração diminuiu com o passar do tempo... Esse poderia ser um exemplo simples de um problema transiente, beleza?
Ou seja, aqui a gente vai ver como podemos lidar quando as condições do nosso problema estão variando com o tempo.
No regime transiente, a transferência de massa em geral quer dizer liberação ou acúmulo de uma espécie em um meio, fazendo com que a concentração mude ao longo do tempo. Então temos que a concentração será uma função do tempo:
Logo, nós temos que:
Ou seja, se o regime é transiente quando a gente fizer o balanço de massa, a gente não pode mais desprezar o termo de concentração em função do tempo. Vamos então considerar que o transporte de massa está acontecendo só por difusão (sem convecção), o nosso balanço vai ficar assim:
Aqui as nossas equações vão ficar um pouquinho mais complexas... Agora a gente vai ter derivadas espaciais, com relação ao espaço, e derivadas temporais, com relação ao tempo. E para resolver elas, a gente vai precisar de algumas simplificações que vão nos ajudar, elas geralmente são dadas no problema, as principais são:
- Geometria simples;
- Condições de início (tempo) e de contorno (espaço);
- Coeficiente de difusão () constante;
Considerando ainda que não está tendo reação química e que estamos em um problema unidimensional , fazendo as manipulações necessárias, com o conceito da 1ª Lei de Fick, temos então a expressão que define a 2ª Lei de Fick:
Ela também pode ser expressa em termos da concentração mássica, que ficaria assim:
Beleza! Mas como resolver esse tipo de EDO? Bom, pra isso vamos precisar usar alguns artifícios!
Difusão transiente em um meio semi infinito
Pensa numa lagoa, a superfície dela a gente sabe qual é, até porque a gente consegue ver. Mas e o fundo? Não dá nem pra imaginar, né? Ela pode ser tanto rasinha quanto muito funda.
Beleza, e o que eu posso querer achar aqui?
Bom, usando as expressões que a gente já pode encontrar:
- O perfil de concentração, da mesma forma que já vimos ali em cima;
- O fluxo de mols transferidos em certo instante de tempo;
- O fluxo médio dentro de um intervalo de tempo;
- A taxa de mols transferida também em um intervalo;
Então a gente vai ver uma solução geral para o sólido semi-infinito, dos três tópicos que estão na nossa lista! Vamos lá!
Para encontrar o perfil de concentração vamos precisar admitir as seguintes condições de contorno:
Condição de Contorno Temporal:
Ela diz pra gente que quando , ou seja, no instante inicial, todo sistema está na concentração inicial.
Condição de Contorno Espacial:
E aqui ela está dizendo que quando estivermos na posição inicial, à variação da concentração ali será zero, e quando a gente tiver na superfície, a concentração será igual à concentração superficial.
Aplicando essas condições de contorno, nós vamos ficar com a seguinte relação:
Viu que ali tem um ? Ele é como a gente representa a função erro, pra achar seus valores podemos usar essa tabela aqui:
Onde é todo mundo que está dentro dos parênteses da função ... Se por acaso o valor que estivermos procurando não aparecer aí, vamos precisar interpolar belezinha?!
Pra calcular o Fluxo de mols transferidos no instante t:
A partir disso se obtém que:
Para calcular o Fluxo médio no intervalo de 0 a t:
Para calcular a Massa total transferida em um intervalo de tempo:
Onde é a taxa de moles transferidos e S é a superfície em que tá rolando a transferência de massa.
é a massa total transferida entre o intervalo 0 e t.
Agora que vimos tudo isso, vamos praticar!