Teoria

Vamos juntos para mais um tópico! Se ligou que estamos saindo do regime permanente, né? Mas o que vai mudar na nossa vida com esse tal de Regime Transiente?

Dá uma olhada aqui, temos um recipiente com um líquido qualquer dentro dele, temos uma concentração inicial ( C 0 ) e uma concentração final ( C ).

O que aconteceu é que, nesse exemplo, a concentração diminuiu com o passar do tempo... Esse poderia ser um exemplo simples de um problema transiente, beleza?

Ou seja, aqui a gente vai ver como podemos lidar quando as condições do nosso problema estão variando com o tempo.

No regime transiente, a transferência de massa em geral quer dizer liberação ou acúmulo de uma espécie em um meio, fazendo com que a concentração mude ao longo do tempo. Então temos que a concentração será uma função do tempo:

C A = f ( t )

Logo, nós temos que:

∂ C A ∂ t ≠ 0

Ou seja, se o regime é transiente quando a gente fizer o balanço de massa, a gente não pode mais desprezar o termo de concentração em função do tempo. Vamos então considerar que o transporte de massa está acontecendo só por difusão (sem convecção), o nosso balanço vai ficar assim:

d C A d t + ∇ N A = R A

Aqui as nossas equações vão ficar um pouquinho mais complexas... Agora a gente vai ter derivadas espaciais, com relação ao espaço, e derivadas temporais, com relação ao tempo. E para resolver elas, a gente vai precisar de algumas simplificações que vão nos ajudar, elas geralmente são dadas no problema, as principais são:

  • Geometria simples;
  • Condições de início (tempo) e de contorno (espaço);
  • Coeficiente de difusão ( D A B ) constante;

Considerando ainda que não está tendo reação química R A = 0 e que estamos em um problema unidimensional ∇ N A = ∂ C A ∂ z , fazendo as manipulações necessárias, com o conceito da 1ª Lei de Fick, temos então a expressão que define a 2ª Lei de Fick:

∂ C A ∂ t = D A B ∂ 2 C A ∂ z ²

Ela também pode ser expressa em termos da concentração mássica, que ficaria assim:

∂ ρ A ∂ t = D A B ∂ 2 ρ A ∂ z ²

Beleza! Mas como resolver esse tipo de EDO? Bom, pra isso vamos precisar usar alguns artifícios!

Difusão transiente em um meio semi infinito

Pensa numa lagoa, a superfície dela a gente sabe qual é, até porque a gente consegue ver. Mas e o fundo? Não dá nem pra imaginar, né? Ela pode ser tanto rasinha quanto muito funda.

Beleza, e o que eu posso querer achar aqui?

Bom, usando as expressões que a gente já pode encontrar:

  • O perfil de concentração, da mesma forma que já vimos ali em cima;
  • O fluxo de mols transferidos em certo instante de tempo;
  • O fluxo médio dentro de um intervalo de tempo;
  • A taxa de mols transferida também em um intervalo;

Então a gente vai ver uma solução geral para o sólido semi-infinito, dos três tópicos que estão na nossa lista! Vamos lá!

Para encontrar o perfil de concentração vamos precisar admitir as seguintes condições de contorno:

Condição de Contorno Temporal:

t = 0   → C A = C A 0

Ela diz pra gente que quando t = 0 , ou seja, no instante inicial, todo sistema está na concentração inicial.

Condição de Contorno Espacial:

x = 0 → d C A d z = 0

x = L   → C A = C A S

E aqui ela está dizendo que quando estivermos na posição inicial, à variação da concentração ali será zero, e quando a gente tiver na superfície, a concentração será igual à concentração superficial.

Aplicando essas condições de contorno, nós vamos ficar com a seguinte relação:

C A - C A 0 C A s - C A 0 = 1 - e r f x 2 D A B t

Viu que ali tem um e r f ? Ele é como a gente representa a função erro, pra achar seus valores podemos usar essa tabela aqui:

Onde z é todo mundo que está dentro dos parênteses da função e r f ... Se por acaso o valor que estivermos procurando não aparecer aí, vamos precisar interpolar belezinha?!

Pra calcular o Fluxo de mols transferidos no instante t:

N A | Z = 0 = - D A B d C A d z | Z = 0

A partir disso se obtém que:

N A | Z = 0 = ( C A S - C A 0 ) D A B π t

Para calcular o Fluxo médio no intervalo de 0 a t:

N A _ = ∫ 0 t - N A | Z = 0   d t

N A _ = ( C A S - C A 0 ) 4 D A B π t

Para calcular a Massa total transferida em um intervalo de tempo:

m ˙ = ∫ S N A ∙ n ^   d S =   N A _   x   S

Onde m ˙ é a taxa de moles transferidos e S é a superfície em que tá rolando a transferência de massa.

M A t - M A 0 = ∫ 0 t m ˙   d t

M A t - M A 0 é a massa total transferida entre o intervalo 0 e t.

M A t - M A 0 = S ( C A S - C A 0 ) 4 t D A B π

Agora que vimos tudo isso, vamos praticar!

Difusão transiente em um meio semi infinito

Beleza, e o que eu posso querer achar aqui?

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