Empuxo

Fala aí! o/ Nesse exercício vamos calcular o empuxo que a esfera (ou a bolinha, para ser mais carinhoso, haha) que está mergulhada em fluido sofre.

Para calcular esse empuxo em Newtons, o primeiro passo é: colocar tudo no Sistema Internacional (SI)! Newton é unidade de força no SI então todas as outras variáveis precisam acompanhar 😉

O raio da esfera é 30 cm: . No sistema internacional:

A massa específica da esfera, ou seja, do objeto é

Passando para o SI:

Conclusão sobre essa conversão de unidades: Para passar de g/cm³ para kg/m³, multiplique por 1000. :D

Finalmente, vamos converter a massa específica do fluido:

Agora que está tudo no SI, vamos calcular esse Empuxo! Na teoria, vimos:

Como a esfera está mergulhada, então o volume submerso vai ser o volume da esfera.

Quem nos ajuda com o volume da esfera é a geometria, olha aí:

Substituindo o raio

Voltando à fórmula do Empuxo:

É muito importante notar que a massa específica que temos que usar é a do fluido! Cuidado com isso, pois, às vezes o enunciado fornece a massa específica do fluido e a do objeto também! Na hora de calcular o Empuxo, lembre de usar .

No nosso exercício, . Substituindo:

E assim calculamos o empuxo em Newtons. 😉

Para sabermos se é realmente ouro ou não, precisamos saber se a densidade do material bate com a densidade do ouro, que vale:

A massa de um objeto é:

Assim o peso é:

Então quando pesada no ar que tem uma densidade muito muito pequena, então desprezamos efeito de empuxo, o peso foi de . Assim:

Assim, a densidade vezes volume da coroa vale:

Ao pesar na água, que possui uma densidade considerável e por isso o efeito de empuxo deve ser levado em conta, temos que o peso resultante, será a diferença entre o peso real da peça menos o empuxo:

Assim, descobrimos o valor do empuxo devido a água.

Como vimos na teoria o empuxo é proporcional ao volume do objeto e a densidade do fluido, sendo assim temos que:

Agora que temos o volume, conseguimos descobrir a densidade da coroa.

Chegamos lá no inicio que:

Substituindo o volume, temos:

Bem a densidade da coroa é bem diferente da do ouro, sendo assim Arquimedes concluiu que o material usado não era ouro.

O sistema está em equilíbrio, sendo assim o somatório de forças é zero.

A esfera sofre a ação do empuxo, da força de tração que equilibra o peso de e do peso da esfera.

E lembrando que peso é , a equação de forças é:

Agora vamos ver o que podemos substituir nessa equação pra resolver ela.

O empuxo exercido na esfera é proporcional ao volume submerso. Pela imagem, metade do volume total da esfera. Sendo assim temos:

Podemos cortar a gravidade, substituir o volume e chegamos em:

Show! Mas a questão pede o peso específico, e não a massa específica da esfera.

A relação entre o peso específico () e a massa específica () é:

Isso aí. Só precisamos multiplicar pela gravidade então:

Vamos analisar o primeiro caso:

Já que o sistema esta flutuando então o empuxo é igual ao peso das bolinhas e da concha.

Sendo assim:

Assim, o volume de água deslocado inicialmente é de:

Quando a gente tira a bolinha da concha e põe ela no fundo do balde, o volume deslocado para de ser proporcional ao peso da bolinha e passa ser igual ao volume da bolinha.

Agora que ela está no fundo o volume deslocado de água é o volume da três bolinhas de aço mais o volume deslocado pela concha:

Substraindo o volume no primeiro caso pelo do segundo temos que

Como , temos que

Então o volume no segundo caso é menor que no primeiro, mostrando que o volume de água vai baixar.

Temos dois casos, o caso em que o cubo é mergulhado na água e posteriormente o caso que é mergulhado em glicerina.

Vamos começar obtendo os dados necessários com o primeiro caso, onde sabemos que o sistema está em equilíbrio.

Se está em equilíbrio temos que

O peso do cubo será:

O empuxo por sua vez, será:

Agora igualando as equações

Agora que descobrimos o que faltava das informações do cubo podemos analisar o segundo caso. Onde para atingirmos o equilíbrio o sistema disse que será necessária uma força .

Vamos supor que a força , esteja atuando para baixo junto com o peso.

Então para montar o sistema de equilíbrio de forças teremos:

Beleza, o peso a gente já calculou:

O empuxo será:

Lembrando que gravidade especifica é só uma outra forma de falar densidade relativa, então temos que a densidade da glicerina é:

Como o cubo está todo submerso o volume submerso é o volume total do cubo

Voltando a equação de forças temos:

Como encontramos um valor positivo significa que acertamos nosso chute a força atua no mesmo sentido da força peso.

Questão louca com dois fluidos e um objeto composto por dois materiais.

O primeiro passo é calcular o peso do objeto.

Como ele é feito metade de um material e metade de outro, vamos tratar de dois objetos de volume . Onde

Então calculando o peso da parte inferior cujo material tem densidade de

O peso da parte de cima cujo material tem densidade

Assim o peso total do objeto é:

Agora que sabemos o peso do objeto podemos montar a equação de equilíbrio de forças.

Teremos a ação da força peso para baixo, e de dois empuxo empurrando o objeto para cima. Assim formando o equilíbrio.

O empuxo um é o empuxo devido ao liquido de densidade . O volume de liquido deslocado vai depender da porção submersa, chamaremos de , assim como fez o desenho do enunciado.

Já o empuxo devido ao fluido de densidade será:

Sendo a porção submersa pelo fluido .

Jogando todos os resultados que tivemos na equação de equilíbrio que montamos nesse passo, temos:

Como o cubo não mudou de tamanho se somarmos as partes submersas por cada fluido elas juntas deve dar o tamanho da aresta do cubo, sendo assim:

Assim, podemos substituir que:

Isolando , temos:

Assim,

A haste sofre a ação da força peso em seu centro de gravidade; do empuxo no centro de carena; da força de tensão do fio.

Como a haste está presa somente ao fio, vamos fazer o momento em relação a este ponto, que seria o ponto de giro da haste.

Mas antes disso temos que saber a posição do centro de gravidade e de carena.

O centro de gravidade é na metade da barra, assim a da extremidade com o fio. Já o centro de carena é na metade do volume submerso sendo assim a da extremidade do fio.

Agora podemos montar a equação de momento em relação ao ponto de contato da haste com o fio. Como temos equilíbrio então o momento total deve ser zero:

Mas, pera! Momento é força vezes braço, onde a força é perpendicular ao braço. E não é o que tá acontecendo aqui!

Sim, por isso vamos ter que multiplicar a distância entre o ponto de aplicação e a extremidade do fio pelo cosseno de Vamos projetar o braço horizontal.

Beleza, sabemos como o peso e o empuxo vão se relacionar. Então se soubermos um deles, encontramos o outro. Não conseguimos descobrir o peso da haste sem a densidade da madeira.

Mas o empuxo a gente consegue descobrir.

Sendo assim:

Pela imagem vemos que da haste está submerso, já que metros de estão submersos. O comprimento total é . Sendo assim do volume da haste está submersa.

E o empuxo fica assim:

Calculando o volume da haste

Assim, o empuxo será:

Agora sabemos o valor do peso:

Podemos então calcular a força em de tensão, como o sistema está em equilíbrio o somatório de forças deve ser zero, assim:

Tendo o peso da haste podemos calcular a densidade dela, já que sabemos seu volume

Sobre o ele é irrelevante na questão, pois no momento ele se cancela, mostrando que a inclinação da haste não interfere. Sendo assim não conseguimos calculá-lo.

A primeira pergunta é no que o ângulo vai influenciar na questão?

Ele vai influenciar em quanto do tirante está na água, influenciando assim no empuxo.

Então nosso primeiro passo é descobrir o empuxo que fará com que o sistema esteja em equilíbrio.

Para isso precisamos saber as forças atuantes. No bloco teremos peso e empuxo e no tirante também.

Então vamos começar pelo bloco. O peso é:

E o empuxo será:

Assim, no bloco teremos uma força resultante atuando na direção do peso, isto é, para baixo:

O ponto de atuação será na extremidade do tirante.

Agora vamos calcular a força peso do tirante.

Atuando na metade do tirante, a uma distância de da parede.

Beleza, sabemos que a empuxo devido ao tirante vai atuar no meio da parte submersa, temos o seguinte sistema de forças:

O nosso problema todo é o empuxo que depende de . Pois esse ângulo vai influenciar no quanto do tirante está fora da água.

Sendo assim, vamos chamar a parte fora da água de , e ela depende de . Olha a imagem abaixo:

Pelo triângulo, temos que:

Chamando de a parte fora da água, o volume submerso será:

Assim o empuxo será:

E o ponto de aplicação do empuxo será, na metade do volume submerso, sendo assim na posição:

Mas para o momento a gente quer a distância do centro de carena até o pino lá na parede e por isso precisamos somar a parte fora da água, :

Beleza, agora conseguimos montar a equação de momento:

Em que é a força resultante no bloco.

Multiplicamos por porque precisamos das distâncias horizontais.

Simplificando o que podemos chegamos em:

Assim, voltando lá na equação em que relacionamos a distância com o ângulo