Estabilidade
Teoria
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E aí? Tudo na paz, no equilíbrio? Bem, no tópico de Empuxo vimos como se dá o equilíbrio de um corpo flutuante. Mas esse equilíbrio é um equilíbrio estável, instável ou indiferente? Melhorando minha pergunta, quero saber se depois que o navio atingir o equilíbrio se uma força pequena for feita de lado o navio vai virar ou tender a voltar ao equilíbrio?
Antes de começarmos a estudar isso vamos relembrar os tipos de equilíbrios que acabei de citar e que serão mencionados nos exercícios e provas:
O equilíbrio estável é aquele que apesar de uma pequena variação de força o equilíbrio irá se recuperar quando a força for retirada. Já o instável é aquele equilíbrio que um pequeno movimento irá jogar o equilíbrio para o espaço. E o indiferente é aquele que vai achar uma outra posição de equilíbrio ali do lado.
Para se determinar se um objeto imerso em um fluido é estável ou não precisamos saber quanto vale a distância entre o metacentro e o centro de gravidade do objeto.
Essa distância será chamada de altura metacêntrica, . Então, foi descoberta a seguinte relação:
Então para um objeto estar estável o metacentro deve estar posicionado acima do centro de gravidade.
Mas que ponto é esse tal de metacentro?
É ponto de giro de um objeto flutuante, é como se ele girasse entorno daquele ponto. Ele é tão importante porque é ele que vai ajudar a definir se o objeto é estável ou não.
E como calculá-lo? Vamos calculá-lo em função do fundo do objeto o ponto . Se assumirmos que lá é o ponto zero, então teremos as cotas do centro de gravidade, empuxo e metacentro.
A equação para calcular a distância é simples: basta olhar para a imagem acima:
Ou
Opa apareceu o que a gente quer, no início falamos que o que vai definir se o objeto é estável ou não é a altura metacêntrica, o .
Se igualarmos as duas opções de , temos:
Isolando a altura metacêntrica, temos:
Beleza, que é a posição do centro de empuxo e que é a posição do centro de gravidade a gente sabe calcular. Só falta então descobrir quem é esse .
é chamado de raio metacêntrico, é a distância entre o centro de empuxo e o metacentro. E o cálculo dessa distância é relacionado com a forma do objeto, pois é:
é o momento de inércia da área onde objeto em contato com a superfície do fluido.
“Oi?? Não entendi nada!!” Calma, vamos desenhar, porque isso é foda. Faremos o momento de inércia dessa região aqui em preto:
É a região que a água toca do objeto, olhando de cima, veríamos isso:
Onde seria o comprimento do nosso objeto analisado. Assim, o momento de inércia dessa região é:
Agora, conseguimos calcular o valor de e assim avaliar se o objeto está ou não estável. Partiu exercício?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Um corpo flutuante será estável quando:
o seu centro de gravidade estiver acima de seu centro de empuxo;
o centro de empuxo estiver abaixo da linha d’água;
o centro de empuxo estiver acima do seu metacentro;
o metacentro estiver acima do seu centro de empuxo;
o metacentro estiver acima do seu centro de gravidade.
Passo 1
Vimos na teoria que um corpo flutuante está em equilíbrio quando , ou seja, a distância entre o centro de gravidade e metacentro é positiva.
Sendo que ela é positiva se o metacentro estiver acima do centro de gravidade e negativa se o contrário acontecer.
Então a resposta dessa questão é a alternativa . E esse conceito é o que rege tudo que estudamos de estabilidade. Se o metacentro estiver acima do centro de gravidade a embarcação está estável.
Resposta
Alternativa
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Descreva os 3 diferentes tipos de equilíbrio de um corpo parcialmente submerso em um fluido. Quais as condições para que eles aconteçam?
Passo 1
Esse exercício é de teoria e essa parte é importante para resolver as questões de estabilidade. Agora é A hora de fixar isso. Opa! 😉
Vimos na teoria que temos 3 tipos de equilíbrio: o estável, o instável e o indiferente.
O que significa um equilíbrio estável? Significa que se por algum motivo, o equilíbrio do corpo for perturbado por uma pequena variação de força, então o corpo irá voltar para sua posição original, assim que essa perturbação for retirada.
O equilíbrio estável é o que geralmente queremos, pois ele garante que mesmo que venha algo ali incomodar um pouquinho o equilíbrio, as coisas vão voltar ao que eram antes quando essa perturbação sair (exemplo da figura: a bolinha volta pra onde era estável!)
Ok! E o equilíbrio indiferente? Esse tipo de equilíbrio é interessante porque se tiver essa pequena perturbação, então o corpo ainda ficará em equilíbrio. PORÉM, chamamos de equilíbrio indiferente pois após essa perturbação, o corpo vai para outra posição de equilíbrio.
Perturbou? Mudou. Equilíbrio continua, mas de outra forma. Indefere a perturbação, o corpo fica em equilíbrio. Não podemos chamar de estável, pois não volta pra mesma situação de equilíbrio. :I
Finalmente, o equilíbrio instável! Geralmente, nós fugimos desse tipo de equilíbrio. Como o nome já diz, ao invés de estabilidade, temos instabilidade. E por que nesse caso isso não é bom? Pois uma pequena perturbação causa a retirada desse corpo da condição de equilíbrio. Por exemplo, um navio poderia afundar.
Se uma perturbaçãozinha já pode afundar o navio, porque chamamos isso de equilíbrio instável?? Bem, para estar em equilíbrio, basta que a resultante das forças no corpo seja zero. No equilíbrio instável, o equilíbrio em si fica sujeito a não existir mais se uma pequena perturbação for aplicada. Por isso, não é almejado. ☹
Passo 2
Quais as condições para que elas aconteçam?
Vimos na teoria que:
No equilíbrio estável, a altura metacêntrica (GM) é maior que zero, ou seja, o metacentro está acima do centro de gravidade do corpo.
No equilíbrio instável, a altura metacêntrica (GM) é menor que zero, isto é, o metacentro está abaixo do centro de gravidade do corpo.
No equilíbrio indiferente, a altura metacêntrica (GM) é igual a zero, ou seja, o metacentro coincide com o centro de gravidade do corpo.
Resposta
O equilíbrio estável é aquele que apesar de uma pequena variação de força o equilíbrio irá se recuperar quando a força for retirada. Condição:
O equilíbrio indiferente é aquele que se uma pequena perturbação for aplicada, então outra posição de equilíbrio será atingida. Condição:
O equilíbrio instável é aquele equilíbrio em que uma pequena perturbação retira o corpo da condição de equilíbrio. Condição:
Exercício Resolvido #3
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 138, ex. P2.130
Considere um cilindro de madeira () de 1 m de diâmetro e 0,8 m de comprimento. Esse cilindro seria estável se colocado para flutuar com seu eixo na vertical em óleo ()?
Passo 1
Fala aí! Vou traduzir o que esse exercício está perguntando: “Será que se colocarmos esse cilindro em pé no óleo ele fica estável?”
Para responder essa pergunta precisamos calcular GM e verificar se esse valor é maior que zero. Se for, a resposta vai ser sim! É estável. Se for GM for menor que zero, o equilíbrio vai ser instável e qualquer perturbação vai fazer esse cilindro virar.
A equação que vamos usar é:
Precisamos encontrar , e para calcular , que é quem queremos conhecer!
Começando pelo , vamos considerar que o material do cilindro é uniforme. Com isso, o centro de gravidade fica na metade da altura do cilindro.
Como o cilindro está em pé, a altura é o comprimento:
Passo 2
E onde seria aplicado o empuxo? Quem é ?
O empuxo é aplicado na metade do volume submerso. Mas não sabemos quanto do cilindro está submerso no óleo. Sabemos que há um equilíbrio de forças, então:
Lembrando as fórmulas da força Peso e do Empuxo:
Cancelando a gravidade:
O volume do cilindro é
Por outro lado, o volume submerso é:
Substituindo:
Logo, a altura do cilindro que está submersa é:
Lembrando que o ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:
Substituindo o valor que encontramos para
Passo 3
Finalmente, vamos calcular o ! A fórmula é:
O momento de inércia do cilindro em pé é o momento de inércia do círculo (porque essa é a região que a oléo toca o cilindro)
Como o diâmetro é 1 m, o raio é 0,5 m. Substituindo:
Com isso, para encontrar BM:
O valor de foi encontrado.
Passo 4
Finalmente, temos todos os valores necessários para calcular !
Opaaa! Encontramos e o valor é maior que zero! O que isso significa?
GM > 0 significa que o equilíbrio é estável! Portanto, a resposta é sim! O cilindro colocado na posição vertical no óleo encontra-se estável, pois GM > 0.
Resposta
Sim! O cilindro seria estável nas condições pedidas.
Exercício Resolvido #4
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 138, ex. P2.128
Um iceberg pode ser idealizado como um cubo de lado , como na Figura abaixo. Se a água do mar for representada por , então o gelo da geleira (que forma os icebergs) tem . Determine se esse iceberg “cúbico” é estável para a posição mostrada na Figura abaixo:
Passo 1
Vimos na teoria que o corpo flutuante estará estável se o for maior que zero.
A fórmula para calcular é:
Então para dizermos se o cubo está ou não estável devemos encontrar a posição do centro de carena, a posição do centro de gravidade e calcular o valor de .
O mais fácil de achar é a posição do centro de gravidade que é na metade do cubo, sendo assim:
Passo 2
Agora, vamos encontrar o :
Para isso precisamos saber qual o volume submerso e descobriremos isso usando o fato do sistema estar em equilíbrio. Assim,
O volume do cubo é e o volume submerso será
O centro de carena é esta na metade do volume submerso, sendo assim:
Passo 3
Agora só falta calcular o , que vimos uma fórmula para isso:
O momento de inércia do cubo é:
Passo 4
Substituindo os valores de que encontramos, temos:
Encontramos um positivo, mostrando que esse iceberg é estável.
Resposta
Estável
Exercício Resolvido #5
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 138, ex. P2.129
A idealização do iceberg do problema anterior (cubo de lado L parcialmente imerso na água do mar) pode se tornar instável se seus lados derreterem e sua altura exceder sua largura. Na Figura considere que a altura seja L e a profundidade normal ao papel seja L, mas a largura no plano do papel seja . Considerando para o iceberg, encontre a razão para a qual ele se torna neutramente estável (isto é, prestes a emborcar).
Passo 1
Nesse exercício, queremos achar a razão entre a altura e a largura do iceberg para que ele fique numa condição de equilíbrio indiferente (isso é o significa neutramente estável!)
Na teoria vimos que o equilíbrio indiferente é representado por . Ou seja, o metacentro (M) coincide o centro de gravidade do iceberg (G)
Então, já temos essa equação aqui:
Então, a partir dos dados que temos do enunciado, vamos encontrar cada parcela dessa equação.
O mais simples de calcular é o centro de gravidade, então vamos começar por ele. Pelo enunciado, a altura desse iceberg é L. Considerando que o material é o gelo e ele é uniforme, então, o centro de gravidade do icerberg é:
Passo 2
O segundo passo desse exercício é encontrar onde o empuxo está atuando! Assim, vamos conseguir calcular .
Como se trata de empuxo, precisamos saber qual é o volume submerso. Como o sistema está em equilíbrio (é o equilíbrio indiferente, mas ainda assim está em equilíbrio!) e as únicas forças atuantes são a força peso e o empuxo, então:
E pelas definições de cada um:
Cortando a gravidade:
O volume do iceberg é
E o volume submerso será
Substituindo:
O ponto de atuação do empuxo é no centro de gravidade da parte submersa:
Substituindo a expressão de
Passo 3
Atualizando a equação do Passo 1:
Falta calcular esse . Temos uma fórmula para ele! YAY!
O momento de inércia do iceberg é:
Pelo enunciado:
Vamos guardar isso aí!
Passo 4
Opa, agora vamos atualizar finalmente a equação com os valores encontrados. :D
Multiplicando por
Isolando H/L:
Logo:
Show! Então para que o iceberg esteja em equilíbrio indiferente, a razão entre largura e profundidade deve ser 0,796!
Resposta
Exercício Resolvido #6
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 138-139, ex. P2.131
Uma barcaça tem de largura e de comprimento e flutua com um calado de . Ela recebe uma carga de cascalho tal que seu centro de gravidade está acima da linha d’água. Ela é estável?
Passo 1
Que termos são esses? Barcaça, calado, cascalho? Hein?
Relaxa que o dicionário Auré..., digo, Responde Aí, vai te ajudar 😉 Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo com essa barcaça, que é uma barca grande (sim! é isso mesmo, rs)
A barcaça é essa “caixa” da figura. Ela tem 4,5 m de largura e o comprimento de 12 m está entrando no papel.
E o que significa calado? Calado é a profundidade do fundo da barcaça até onde o fluido deixa de tocar a embarcação, ou seja, é a medida do fundo até o que chamamos de linha d’água. Essa linha está representada pela letra A na figura.
Essa barcaça está transportando um monte de lascas de pedras, que é a carga de cascalho, representadas na figura pela parte cheia de pontos. O enunciado diz que o centro de gravidade (G) dessa barcaça carregando cascalho está 0,6 m acima da linha d’água. Ou seja:
Ok! Agora que visualizamos o problema, vamos ver se essa barcaça está estável e de boa para transportar os cascalhos. Eles vão fazer diferença 😉
Passo 2
Como vimos na teoria, a barcaça com cascalhos vai ser estável se GM for maior que zero. Para calcular GM, usamos essa equação:
já conhecemos, então vamos calcular e depois .
O ponto de aplicação do empuxo fica na metade do volume submerso. Sabemos que a profundidade submersa (o tal do calado) é . Então:
Passo 3
Para calcular o , usamos a equação:
O momento de inércia da barcaça é o momento de inércia do retângulo na linha d’água
Onde Y é comprimento da barcaça (12 m) e X é a largura (4,5 m). Substituindo:
Para encontrar BM, precisamos saber o volume submerso:
Então:
Passo 4
Uhul! Hora de encontrar !
GM é maior que zero, logo, a barcaça transporta o cascalho de forma estável!
Resposta
Sim! Ela é estável. 😊
Exercício Resolvido #7
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 139, ex. P2.133
(Adaptada) Considere um cone circular reto uniforme de densidade , flutuando com seu vértice para baixo na água (). O raio da base é e a altura do cone é . Calcule e verifique se esse cone é estável para a altura submersa .
Dados: e .
Passo 1
Temos um cone flutuando e ele está invertido:
Para calcular GM:
Vamos começar analisando o centro de gravidade e calculando . Como o corpo é um cone, o centro de gravidade não é na metade da altura. Esse detalhe é muito importante! O centro de gravidade de um cone fica em um quarto da altura do mesmo.
Maaaas, como o cone está invertido (de cabeça pra baixo), então o centro de gravidade é representado por ¾ da altura do cone:
Do enunciado, sabemos que H = 1,2 m:
Passo 2
Para calcular vamos usar essa mesma lógica. A parte que está submersa também um cone, só que ao invés de raio R e altura H, o raio é r, e a altura h. Então, o ponto em que o empuxo será aplicado também será ¾ da altura do cone invertido:
Do enunciado, sabemos que h = 0,8 H:
Daqui podemos encontrar mais informações. Como sabemos que o corpo está em equilíbrio:
Ou seja:
Lembrando de geometria, o volume do cone é
E como o volume submerso é o volume de um cone também:
Substituindo:
Pelo enunciado, sabemos que:
Substituindo:
Vamos guardar essa expressão
Passo 3
Para calcular esse :
O momento de inércia será o momento de inércia do círculo, pois essa é a área tocada pelo fluido na superfície.
Lembrando que:
Substituindo e
Como e :
Passo 4
Agora, vamos calcular GM
Encontramos GM e é maior que zero! Logo, o cone é estável para h = 0,8 H 😊
Resposta
Estável
Exercício Resolvido #8
White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 139, ex. P2.134
Ao flutuar em água , um corpo triangular equilateral pode assumir uma das duas posições mostradas na Figura abaixo. Qual é a posição mais estável? Considere que a largura seja grande normal ao papel.
Passo 1
Para resolvermos essa questão existem algumas informações que devemos saber sobre um triangulo equilátero.
Possui os três lados iguais e a altura do triângulo é a área é .
O centro de gravidade de um triângulo é em relação a base.
Beleza agora pode começar a pensar no problema, para sabermos quem é mais estável devemos ver qual caso possui o maior .
Caso
A posição do centro de gravidade é , nesse caso então:
Agora temos que achar a posição do centro de empuxo, para isso vamos usar do fato de estarmos em equilíbrio e peso ser igual a empuxo. Assim,
Para calcular o volume dessa peça, vamos fazer a área do triangulo e multiplicar pelo comprimento que é muito grande. Assim, temos:
A área submersa é a área do triangulo equilátero, menos a área de um mini triangulo equiláteros de lado .
Então, temos:
Cortando o que conseguimos temos:
A altura desse pequeno triangulo equilátero é:
Assim a altura da parte submersa é:
Agora precisamos encontrar o centro geométrico do trapézio submerso. Para isso vamos ter que usar uma antiga fórmula que usávamos para calcular centro de área de figuras com furos.
Pois iremos imaginar que o trapézio é o triangulo grande menos o triangulo pequeno. Assim o centro geométrico da figura submersa será:
Já lhes peço desculpas, mas agora vem uma parte cheia de letras e algebrismo que de física não tem nada.
Cortando e substituindo o , chegamos em:
Ufaa, acabou! Podemos voltar a parte importante da questão agora.
Tendo e , falta apenas encontrar para calcularmos .
Lembre-se que o momento de inércia é de onde o fluido corta o objeto, sendo assim, o momento de inércia da nossa figura, será:
O volume submerso, já calculamos e vale:
Sendo assim, é:
O dessa posição é:
Sendo assim esse primeiro caso é instável.
Passo 2
Agora vamos analisar o caso :
Nesse caso o centro de gravidade está localizado a
Agora, para encontrar o centro de empuxo, temos que usar
O volume submerso, será a largura vezes a área de um triangulo equilátero de lado .
Assim, a posição do centro de carena é:
A altura do triangulo de lado é:
Então:
Por fim falta apenas calcular o , para isso precisamos saber o momento de inércia da linha do fluido.
Assim,
Agora temos tudo que é necessário para calcular o ,
O dessa posição é maior que zero, assim maior que o da posição sendo assim a posição mais estável.
Resposta
Caso é o mais estável.