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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 27

Considere o campo de escoamento V → = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 i ^ + B x 3 y - x y 3 j ^ ;     A = 2   m - 3 s - 1 , B é uma constante e as coordenadas são medidas em metros. Determine B para este escoamento ser incompressível. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa através do ponto (x, y) = (1, 2). Deduza uma expressão algébrica para a aceleração de uma partícula fluida. Estime o raio de curvatura da linha de corrente em (x, y) = (1, 2).

Passo 1

Pessoal, temos um escoamento em 2D e incompressível, além do campo de velocidade. Então, vamos usar a equação 5.3 do livro, que aborda a equação da continuidade para estas condições:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Onde:

u = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4

v = B x 3 y - x y 3

Substituindo os valores, temos:

∂ A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 ∂ x + ∂ B x 3 y - x y 3 ∂ y = 0

A 4 x 3 - 12 x y 2 + B x 3 - 3 x y 2 = 0

4 A + B x 3 - 3 x y 2 = 0

Então, para a expressão ser valida para quaisquer valores de x e y:

4 A + B = 0

B = - 4 A

B = - 8   m - 3 s - 1

Passo 2

A equação da aceleração da partícula em x é dada pela equação:

a x = D u D t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Podemos simplificar a expressão e ficamos com:

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

Substituindo os valores, temos:

a x = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 ∂ A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 ∂ x + B x 3 y - x y 3 ∂ A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 ∂ y

a x = A 2 x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 [ 4 x 3 - 12 x y 2 ] + A B x 3 y - x y 3 - 12 x 2 y + 4 y 3

Como B = - 4 A :

a x = A 2 x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 4 x 3 - 12 x y 2 - 4 A 2 x 3 y - x y 3 - 12 x 2 y + 4 y 3

Após o algebrismo acima podemos escrever da seguinte forma:

a x = 4 A 2 x x 2 + y 2 3

No ponto (1,2), a aceleração em x é dada por:

a x = 4 ( 2 ) 2 1 1 2 + 2 2 3

a x = 2000   m / s 2

Passo 3

A equação da aceleração da partícula em y é dada pela equação:

a y = D v D t = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Podemos simplificar a expressão e ficamos com:

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Substituindo os valores, temos:

a y = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 ∂ B x 3 y - x y 3 ∂ x + B x 3 y - x y 3 ∂ B x 3 y - x y 3 ∂ y

a y = A B x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 [ 3 x 2 y - y 3 ] + B 2 x 3 y - x y 3 [ x 3 - 3 x y 2

Como B = - 4 A :

a y = - 4 A 2 x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 [ 3 x 2 y - y 3 ] + 16 A 2 x 3 y - x y 3 [ x 3 - 3 x y 2

Após o algebrismo acima podemos escrever da seguinte forma:

a y = 4 A 2 y x 2 + y 2 3

No ponto (1,2), a aceleração em y é dada por:

a y = 4 2 2 2 1 2 + 2 2 3

a y = 4000   m / s 2

O vetor aceleração total vai ser dado por:

a → = 4 A 2 x x 2 + y 2 3   i ^ + 4 A 2 y x 2 + y 2 3 j ^

a → = 4 A 2 x 2 + y 2 3 [ x i ^ + y j ^ ]

a → = 2000 i ^ + 4000 j ^   m / s 2

Passo 4

A inclinação da linha de corrente é dada por:

d y d x = v u = - A x y A x 2 2 = - 2 y x

Temos então a expressão:

d y d x = B x 3 y - x y 3 A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 = - 4 A x 3 y - x y 3 A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4

d y d x = - 4 x 3 y - x y 3 x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4

Vamos fazer uma substituição de variável para resolver esta integral:

Seja

t = y x

d t d x = d y x d x = 1 x d y d x + y d 1 x d x = 1 x d y d x - y x 2

d t d x = 1 x d y d x - y x 2

d y d x = x d t d x + y x

d y d x = x d t d x + t

Igualando as equações, temos:

d y d x = x d t d x + t = - 4 x 3 y - x y 3 x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4

Dividindo os termos do lado direito por x 4 :

x d t d x + t = - 4 y x - y x 3 1 - 6 y x 2 + y x 4

x d t d x + t = - 4 t - t 3 1 - 6 t 2 + t 4

x d t d x = - t + 4 t - t 3 1 - 6 t 2 + t 4

x d t d x = - t - 6 t 3 + t 5 + 4 t - 4 t 3 1 - 6 t 2 + t 4

x d t d x = - 5 t - 10 t 3 + t 5 1 - 6 t 2 + t 4

Separando as variáveis:

1 - 6 t 2 + t 4 5 t - 10 t 3 + t 5 d t   = - 1 x d x

Integrando esta equação, veja que a expressão grande em t obedece a regra da cadeia:

1 5 ln ⁡ 5 t - 10 t 3 + t 5 = - ln ⁡ x + C

ln ⁡ 5 t - 10 t 3 + t 5 + 5 ln ⁡ x = C

ln ⁡ 5 t - 10 t 3 + t 5 x 5 = C

Aplicando exponencial:

5 t - 10 t 3 + t 5 x 5 = c

Voltando com o valor t = y x :

y 5 - 10 x 2 y 3 + 5 x 4 y = c

No ponto (1,2), temos:

2 5 - 10 1 2 2 3 + 5 1 4 2 = - 38

y 5 - 10 x 2 y 3 + 5 x 4 y = - 38

Passo 5

O módulo da aceleração total no ponto (1,2) vai ser dado por:

a = a x 2 + a y 2

a = 4472,14   m / s 2

A componente normal neste ponto pode ser encontrada a partir do ângulo entre a aceleração e velocidade:

O ângulo da velocidade em relação a origem é dado por:

θ v e l = arctan ⁡ v u = arctan ⁡ - 4 A x 3 y - x y 3 A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4

Substituindo no ponto (1,2):

θ v e l = arctan ⁡ - 4 1 3 2 - 1 2 3 1 4 - 6 1 2 2 2 + 2 4

θ v e l = arctan ⁡ ( - 3,43 )

θ v e l = - 1,287   r a d

θ v e l = - 73,74 º

O ângulo da aceleração em relação a origem é dado por:

θ a c e l = arctan ⁡ a y a x = arctan ⁡ 4 A 2 y x 2 + y 2 3 4 A 2 x x 2 + y 2 3

θ a c e l = arctan ⁡ y x

Substituindo no ponto (1,2):

θ a c e l = arctan ⁡ 2

θ a c e l = 63,4 º

Então, o ângulo entre os dois vetores será:

∆ θ = θ a c e l - θ v e l

∆ θ = 63,4 - ( - 73,74 )

∆ θ = 137 , 14 º

Por definição, a componente normal da aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Então podemos encontrar pela expressão:

a n = a   s e n ( ∆ θ )

a n = 4472,14   s e n ( 137,14 )

a n = 3042   m / s 2

O raio de curvatura pode ser obtido através da equação da aceleração normal:

a n = V 2 R

O modulo da velocidade no ponto (1,2) será:

V 2 = u 2 + v 2

V 2 = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 2 + - 4 A x 3 y - x y 3 2

V 2 = 2 1 - ( 6 ) 1 2 2 2 + 2 4 2 + - 4 ( 2 ) 1 3 2 - 1 ( 2 ) 3 2

V 2 = - 14 2 + 48 2

V = 50 m s

Então, a curvatura será de:

R = 50 2 3042

R = 0,82   m

Resposta

B = - 8   m - 3 s - 1

a → = 4 A 2 x 2 + y 2 3 [ x i ^ + y j ^ ]

a x = 2000   m / s 2

a y = 4000   m / s 2

y 5 - 10 x 2 y 3 + 5 x 4 y = - 38

R = 0,82   m

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