Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 9

A distribuição de velocidade em um campo de escoamento bidimensional e em regime permanente no plano xy é , em que ; as coordenadas são medidas em metros e a distribuição das forças de campo é O campo de velocidade representa o escoamento de um fluido incompressível? Encontre o ponto de estagnação do campo de escoamento. Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão no campo de escoamento. Avalie a diferença de pressão entre o ponto (x, y) = (1, 3) e a origem se a massa específica for 1,2 kg/m3.

Passo 1

Pessoal, primeiro devemos confirmar se o campo de velocidade dado representa o escoamento de um fluido incompressível. Para isto, temos que usar a equação da continuidade que diz:

Para um fluido incompressível, é constante, logo a equação fica:

Que para um escoamento em 2D nada mais é que:

Onde:

Pelo enunciado:

Vamos então substituir na equação da continuidade em 2D e incompressível:

Portanto, o fluido é incompressível!

Passo 2

A questão também pede o ponto de estagnação. É chamado ponto de estagnação, o ponto em que ponto Vamos então encontra-lo:

Então, o ponto de estagnação é:

Passo 3

A expressão para o gradiente de pressão pode ser obtida a partir da equação de Euler para escoamento incompressível e não viscoso, dada pela equação 6.1 do livro:

Abrindo a expressão, temos:

Como o regime é permanente, então Além disso, não há escoamento na direção z, logo . A expressão fica então:

Substituindo os valores:

Ajeitando a equação, temos a resposta:

Passo 4

A partir da equação encontrada no Passo 3, podemos encontrar a diferença de pressão entre a origem e o ponto (x,y)=(1,3), onde a massa específica vale 1,2kg/m³.

Vamos primeiro abrir o divergente de pressão na expressão encontrada acima:

Temos então que:

Agora, vamos aplicar a definição de diferencial para a pressão:

Substituindo os valores encontrados acima, temos:

Agora basta integrar os dois lados da equação entre no intervalo pedido no enunciado:

Resposta

Ponto de estagnação:

Gradiente de pressão:

Diferença de pressão entre os pontos (1,3) e (0,0):

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