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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 75

5.75 Considre o campo de escoamento bidimensional no qual u = A x y e ψ = B y 2 , em que A = 1   m - 1 s - 1 , B = 1 / 2   m - 1 s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível. Determine a rotação no ponto (x,y)=(1,1). Avalie a circulação sobre a “curva” delimitada por y=0, x=1, y=1 e x=0.

Passo 1

Vamos usar equação da continuidade:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, ρ é cosntante, então podemos tirar o ρ de dentro da derivada e ∂ ρ ∂ t = 0 .

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é bidimensional no plano xy, então:

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Aqui chegamos em um impasse, pois temos u , mas não temos   v . Vamos resolver isso no próximo passo.

Passo 2

Da definição de função de corrente:

v = - ∂ ψ / ∂ x

v = 0

Como u = A x y   e v = 0 ,

∂ A x y ∂ x + ∂ 0 ∂ y = 0

A y ≠ 0

Então, como não satisfaz a equação, não é um possível escoamento incompressível.

Passo 3

Poréééémmm, como a tia aqui que resolver os exercícios achou um pouco estranho isso, porque o enunciado afirma que é incompressível e só pede pra demonstrar, fui olha na versão e inglês do livro e parece que os dados estão errados.

Na verdade os dados são u = A x y , v = B y 2 , com A = 1   m - 1 s - 1 , B = - 1 / 2   m - 1 s - 1 .

Subistituindo esse dados, ficamos com:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ A x y ∂ x + ∂ B y 2 ∂ y = 0

A y + 2 B y = 0

y + 2 - 1 2 y = 0

0 = 0

Agora sim pode respresentar um fluido incompressível.

Passo 4

Da definição de rotação:

ω → = 1 2 ∇ × V →

Como:

∇ = i ^ ∂ / ∂ x + j ^ ∂ / ∂ y + k ^ ∂ / ∂ z

E V → = A x y i ^ + B y 2 j ^ ,

ω → = 1 2 i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x y B y 2 0

ω → = 1 2 - A x k ^

Com B = - 3,3 e y = 0 ,

ω → = 1 2 ( - 1 ) y k ^

No ponsto x , y = 1,1 :

ω → = - 0,5   k ^

Passo 5

Da definição de circulação:

Γ = ∮ V → ⋅ d S

Graças ao bom deus podemos representar essa integral por: (por serem retas na vertical e na horizontal e bla bla bla)

Γ = ∫ x a x b u   d x + ∫ y b y c v   d y + ∫ x c x d u   d x + ∫ y d y a v   d x

Como u = A x 2 e v = - B x y

Γ = ∫ a b A x 2   d x + ∫ b c - B x y   d y + ∫ c d A x 2   d x + ∫ d a + B x y   d x

Γ = A x 3 3 a b + - B x y 2 2 b c + A x 3 3 c d + B x y 2 2 d a

Como os pontos são a = 0,0 , b = 1 ; 0 , c = 1 , 1 e d = 0 ; 1 :

Γ = A 0 3 3 - A 1 3 3 + - B 1 1 3 2 + B 1   2 0 2 2

+ A 0 3 3 - A 1 3 3 + - B 0 1 3 2 + B 0 2 0 2 2

Γ = - B 2

Γ = - 0,5     m - 1 s - 1

Resposta

ω → = - 0,5   k ^

Γ = - 0,5     m - 1 s - 1

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