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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 70

5.70 Expanda ( V → ⋅ ∇ ) V → em coordenadas cilíndricas pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida. Compare os resultados com as Eqs. 5.12.

Passo 1

Essa questão é uma das que é puramente de cálculo, então vamos fazendo aos poucos, caso você não se lembre de todas as propriedades.

A definição do operador ∇ para coordenadas cilíndricas é

∇ = e ^ r ∂ ∂ r + e ^ θ 1 r ∂ ∂ θ + k ^ ∂ ∂ z

Como V → = V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

Fazendo o produto escalar

V → ⋅ ∇ = V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^ ⋅ e ^ r ∂ ∂ r + e ^ θ 1 r ∂ ∂ θ + k ^ ∂ ∂ z  

V → ⋅ ∇ = e ^ r ∂ ∂ r ⋅ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^ + e ^ θ 1 r ∂ ∂ θ ⋅ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

+ k ^ ∂ ∂ z ⋅ V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

V → ⋅ ∇ = e ^ r ⋅ ∂ V r e ^ r ∂ r + ∂ V θ e ^ θ ∂ r + ∂ V z k ^ ∂ r + e ^ θ r ⋅ ∂ V r e ^ r ∂ θ + ∂ V θ e ^ θ ∂ θ + ∂ V z k ^ ∂ θ

+ k ^ ⋅ ∂ V r e ^ r ∂ z + ∂ V θ e ^ θ ∂ z + ∂ V z k ^ ∂ z

Passo 2

Agora pra seguirmos temos um probleminha que não tivemos na questão onde eram coordenadas cartesianas. Nas derivadas parciais em relação a θ , nós não podemos tirar o e ^ r e o e ^ θ de dentro da derivada, pois eles dependem da coordenada, mas ele dá nas notas de rodapé:

∂ e ^ r ∂ θ = e ^ θ

∂ e ^ θ ∂ θ = - e ^ r

Então:

V → ⋅ ∇ = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ V r ∂ r + e ^ θ ∂ V θ ∂ r + k ^ ∂ V z ∂ r + e ^ θ r ⋅ ∂ V r e ^ r ∂ θ + ∂ V θ e ^ θ ∂ θ + k ^ ∂ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ V r ∂ z + e ^ θ ∂ V θ ∂ z + k ^ ∂ V z ∂ z

Lembra da derivada do produto? u v ' = u v ' + v u '

V → ⋅ ∇ = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ V r ∂ r + e ^ θ ∂ V θ ∂ r + k ^ ∂ V z ∂ r

+ e ^ θ r ⋅ ρ V r ∂ e ^ r ∂ θ + e ^ r ∂ V r ∂ θ + ρ V θ ∂ e ^ θ ∂ θ + e ^ θ ∂ V θ ∂ θ + k ^ ∂ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ V r ∂ z + e ^ θ ∂ V θ ∂ z + k ^ ∂ V z ∂ z

Substituindo as notas de rodapé:

V → ⋅ ∇ = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ V r ∂ r + e ^ θ ∂ V θ ∂ r + k ^ ∂ V z ∂ r

+ e ^ θ r ⋅ V r e ^ θ + e ^ r ∂ V r ∂ θ + V θ - e ^ r + e ^ θ ∂ V θ ∂ θ + k ^ ∂ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ V r e ^ r ∂ z + e ^ θ ∂ V θ e ^ θ ∂ z + k ^ ∂ V z k ^ ∂ z

V → ⋅ ∇ = e ^ r ⋅ e ^ r ∂ V r ∂ r + e ^ θ ∂ V θ ∂ r + k ^ ∂ V z ∂ r

+ e ^ θ r ⋅ e ^ r ρ V r ∂ θ - V θ + e ^ θ ρ V θ ∂ θ + V r + k ^ ∂ V z ∂ θ

+ k ^ ⋅ e ^ r ∂ ρ V r e ^ r ∂ z + e ^ θ ∂ ρ V θ e ^ θ ∂ z + k ^ ∂ ρ V z ∂ z

Lembrando que e ^ r ⋅ e ^ r = e ^ θ ⋅ e ^ θ = k ^ ⋅ k ^ = 1

e que e ^ r ⋅ e ^ θ = e ^ θ ⋅ e ^ r = e ^ r ⋅ k ^ = … = 0 .

Então:

V → ⋅ ∇ = ∂ V r ∂ r + 1 r ∂ V θ ∂ θ + V r + ∂ V z ∂ z

Passo 3

Agora fazendo:

V → ⋅ ∇ V → = ∂ V r ∂ r + 1 r ∂ V θ ∂ θ + V r + ∂ V z ∂ z V r e ^ r + V θ e ^ θ + V z k ^

V → ⋅ ∇ V → = V r ∂ V r ∂ r + V r r ∂ V θ ∂ θ + V r 2 + V r ∂ V z ∂ z e ^ r + V θ ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V r + V θ ∂ V z ∂ z e ^ θ + V z ∂ V r ∂ r + V z r ∂ V θ ∂ θ + V r + V z ∂ V z ∂ z k ^

Como queríamos demonstrar.

Resposta

V → ⋅ ∇ V → = V r ∂ V r ∂ r + V r r ∂ V θ ∂ θ + V r 2 + V r ∂ V z ∂ z e ^ r + V θ ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V r + V θ ∂ V z ∂ z e ^ θ + V z ∂ V r ∂ r + V z r ∂ V θ ∂ θ + V r + V z ∂ V z ∂ z k ^

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