Enunciado

5.66 Considere o escoamento incompressível de um fluido através de um bocal, conforme mostrado. A área do bocal é dada por A = A 0 1 - b x e a velocidade de entrada varia de acordo com U = U 0 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t , em que A 0 = 0,5   m 2 , L = 5   m , b = 0,1   m - 1 , ω = 0,16   r a d / s e U 0 = 5   m / s . Determine e trace um gráfico da aceleração na linha central, usando o tempo como parâmetro.

Passo 1

Usando a equação da continuidade para achar uma expressão para a velocidade na linha central,

V e A e = V A

U A 0 = u A

U 0 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t A 0 = u A 0 1 - b x

u = U 0 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t 1 - b x

Passo 2

Como só tem variação em x e em t, podemos calcular a aceleração por:

a p x = u ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ t

Vamos calcular as derivadas parciais:

∂ u ∂ x = b U 0 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t 1 - b x 2

∂ u ∂ t = - 0,5 ω U 0 s e n   ω t 1 - b x

Então:

a p x = U 0 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t 1 - b x b U 0 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t 1 - b x 2 + - 0,5 ω U 0 s e n   ω t 1 - b x

a p x = b U 0 2 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t 2 1 - b x 3 + - 0,5 ω U 0 s e n   ω t 1 - b x

a p x = 0,1 5 2 0,5 + 0,5 cos ⁡ 0,16 t 2 1 - 0,1 x 3 + - 0,5 0,16 5 s e n   0,16 t 1 - 0,1 x

Passo 3

Usando o tempo como parâmetro:

Com t = 0   s : (azul)

a p x = 2,5 1 - 0,1 x 3

Com t = 10   s : (vermelho)

a p x = 0,59 1 - 0,1 x 3 - 0,4 1 - 0,1 x

Com t = 20   s : (verde)

a p x = 1,8 × 10 - 6 1 - 0,1 x 3 - 0,02 1 - 0,1 x

Com t = 3 0   s : (preto)

a p x = 0,74 1 - 0,1 x 3 + 0,4 1 - 0,1 x

Resposta

a p x = b U 0 2 0,5 + 0,5 cos ⁡ ω t 2 1 - b x 3 + - 0,5 ω U 0 s e n   ω t 1 - b x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Óleo, de massa específica ρ e viscosidade μ , é drenado continuamente por um lado de uma placa vertical, como na Figura P4.80. Após uma região de desenvolvimento próximo ao topo da placa, o filme de ó
Um cilindro sólido longo gira em regime permanente em um fluido muito viscoso, como mostrado abaixo. Considerando escoamento laminar, resolva a equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas para
Considere o escoamento de Couette bidimensional, incompressível e permanente (escoamento entre duas placas infinitas com a placa superior se movendo a uma velocidade constante, e a inferior estacionár
Uma correi move-se para cima com a velocidade V, arrastando um filme de líquido viscoso de espessura h, como mostrado abaixo. Próximo à correia, o filme move-se para cima em virtude da condição de não
Para a distribuição de velocidade do Problema P4.4, determine se são satisfeitas (a) a equação da continuidade e (b) a equação de Navier-Stokes. (c) Se essa última afirmação for verdadeira, encontre a