Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 67
5.67 Considere novamente o campo de velocidade bidimensional em regime permanente do Problema 5.56. Obtenha expressões para as coordenadas de partícula, e , como funções do tempo e da posição inicial da partícula, em . Determine o tempo requerido para a partícula deslocar da sua posição inicial para as posições e . Compare as acelerações da partícula determinadas pela derivação de e com aquelas obtidas no Problema 5.56.
Passo 1
O campo de velocidade é:
Com .
Nós já sabemos de muito tempo atrás que velocidade é a derivada da posição, ne... então:
Como ,
Separando as variáveis e integrando.
Onde é a constante de integração.
Mas sabemos que , então:
Portanto,
Pra deixar mais bonitinho:
Passo 2
Como ,
Separando as variáveis e integrando.
Onde é a constante de integração.
Mas sabemos que , então:
Portanto,
Pra deixar mais bonitinho:
Passo 3
De para .
Olha... se a nossa resolução estiver corretinha... o tempo que resolvermos para x temos que achar para y também.
Para x:
Para y:
Passo 4
De para .
Para x:
Para y:
Passo 5
Derivando duas vezes as funções que achamos:
Em
Em :
São os mesmo encontrado no outro exercício.