5.67 Considere novamente o campo de velocidade bidimensional em regime permanente do Problema 5.56. Obtenha expressões para as coordenadas de partícula, x p = f 1 t e y p = f 2 t , como funções do tempo e da posição inicial da partícula, ( x 0 , y 0 ) em t = 0 . Determine o tempo requerido para a partícula deslocar da sua posição inicial 1 2 , 2 para as posições x , y = ( 1,1 ) e 2 , 1 2 . Compare as acelerações da partícula determinadas pela derivação de f 1 ( t ) e f 2 t com aquelas obtidas no Problema 5.56.

Passo 1

O campo de velocidade é:

V → = A x i ^ - A y j ^

Com A = 1   s - 1 .

Nós já sabemos de muito tempo atrás que velocidade é a derivada da posição, ne... então:

V x = d f 1 t d t

Como V x = A x ,

A f 1 t = d f 1 t d t

Separando as variáveis e integrando.

d f 1 t f 1 t = A   d t

∫ d f 1 t f 1 t = ∫ A   d t

ln ⁡ f 1 t = A t + C 1

Onde C 1 é a constante de integração.

Mas sabemos que f 1 0 = x 0 , então:

ln ⁡ x 0 = A 0 + C 1

C 1 = ln ⁡ x 0

Portanto,

ln ⁡ f 1 t = A t + ln ⁡ x 0

Pra deixar mais bonitinho:

e ln ⁡ f 1 t = e A t + ln ⁡ x 0

f 1 t = e A t e ln ⁡ x 0

f 1 t = x 0 e A t

Passo 2

Como V x = - A y ,

- A f 2 t = d f 2 t d t

Separando as variáveis e integrando.

d f 2 t 2 t = - A   d t

∫ d f 2 t f 2 t = ∫ - A   d t

ln ⁡ f 2 t = - A t + C 2

Onde C 2 é a constante de integração.

Mas sabemos que f 2 0 = y 0 , então:

ln ⁡ y 0 = - A 0 + C 2

C 2 = ln ⁡ y 0

Portanto,

ln ⁡ f 2 t = - A t + ln ⁡ y 0

Pra deixar mais bonitinho:

e ln ⁡ f 2 t = e - A t + ln ⁡ y 0

f 2 t = e - A t e ln ⁡ y 0

f 2 t = y 0 e - A t

Passo 3

De 1 2 , 2 para 1,1 .

Olha... se a nossa resolução estiver corretinha... o tempo que resolvermos para x temos que achar para y também.

Para x:

f 1 t = x 0 e A t

1 = 1 2 e t

2 = e t

t = ln ⁡ 2

t = 0,69   s

Para y:

f 2 t = y 0 e - A t

1 = 2 e - t

1 2 = e - t

- t = ln ⁡ 1 2

- t = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2

t = ln ⁡ 2

t = 0,69   s

Passo 4

De 1 2 , 2 para 2 , 1 2 .

Para x:

f 1 t = x 0 e A t

2 = 1 2 e t

4 = e t

t = ln ⁡ 4

t = 1,38   s

Para y:

f 2 t = y 0 e - A t

1 2 = 2 e - t

1 4 = e - t

- t = ln ⁡ 1 4

- t = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 4

t = ln ⁡ 4

t = 1,38   s

Passo 5

Derivando duas vezes as funções que achamos:

f 1 t = x 0 e A t

d f 1 t d t = A x 0 e A t

d 2 f 1 t d t 2 = A 2 x 0 e A t

d 2 f 1 t d t 2 = A 2 f 1 t

f 2 t = y 0 e - A t

d f 2 t d t = - A y 0 e - A t

d 2 f 1 t d t 2 = A 2 y 0 e - A t

d 2 f 2 t d t 2 = A 2 f 2 t

Em 1,1 :

a p x = 1

a p y = 1

Em 2 , 1 2 :

a p x = 2

a p y = 1 2

São os mesmo encontrado no outro exercício.

Resposta

f 1 t = x 0 e A t

f 2 t = y 0 e - A t

t = 0,69   s

t = 1,38   s

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