5.88 Considere o escoamento induzido por pressão entre placas paralelas, separadas pela distância 2b. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do canal entre as placas. O campo de velocidade é dado por u = u m á x 1 - y b 2 . Avalie as taxas de deformação linear angular. Obtenha uma expressão para o vetor vorticidade, ς → . Determine o local onde a vorticidade é máxima.

Passo 1

Como o perfil de velocidade só depende de y , então:

∂ u ∂ x = 0

∂ V z ∂ z = 0

E como:

∇ ⋅ V → = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Então:

∂ v ∂ y = 0

Portanto, a deformanção linear nas três direções são iguais a zero.

Passo 2

As deformações angulares são:

Plano x - y :

∂ ∂ x v + ∂ ∂ y u = - u m á x 2 y b 2

Plano y - z :

∂ ∂ y w + ∂ ∂ z v = 0

Plano z - x :

∂ ∂ z u + ∂ ∂ x w = 0

Passo 3

A vorticidade em coordenadas cartesianas é:

ς → = ∇ × V →

ς → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z u m á x 1 - y b 2 0 0

ς → = u m á x 2 y b 2 k ^

A vorticidade é máxima quando y = b e y = - b .

Resposta

A deformanção linear nas três direções são iguais a zero.

Deformação angular

- u m á x 2 y b 2

ς → = u m á x 2 y b 2 k ^

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