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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 5

Após a seção de entrada (1) de um conduto de seção quadrada de 0,3 m × 0,3 m , existem duas paredes porosas. A vazão de água na entrada é 300   L / s . Pela parede porosa superior (2) há uma vazão de entrada que varia parabolicamente, por unidade de largura, desde 0 L s ⋅ m   na seção (1) até 80 L s ⋅ m   , junto à seção (4). Na outra face porosa (3), a água sai com uma vazão que varia linearmente, por unidade de largura, desde 150 L s ⋅ m ,   à seção (1), até 0 L s ⋅ m , junto à seção (4). Determinar a vazão na seção (4) de saída do conduto, localizada a 50   c m de entrada (1).

Passo 1

Pela equação da continuidade nós temos:

∂ ∂ t ∫ V C ρ d V - ∫ S C ρ ⋅ v → × n → ⋅ d A = 0

Primeiro, vamos considerar que o fluido é incompressível ( ρ = c t e ) , então podemos simplificar a densidade:

∂ ∂ t ∫ V C d V - ∫ S C v → × n → ⋅ d A = 0

∂ ∂ t V V C - ∫ S C v → × n → ⋅ d A = 0

Vamos fazer a seguinte consideração: O volume de líquido dentro do Volume de Controle é constante, o regime é permanente e o volume V V C = c t e , logo a sua derivada é igual a zero:

∂ V V C ∂ t - ∫ S C v → × n → ⋅ d A = 0

0 - ∫ S C v → × n → ⋅ d A = 0

∫ S C v → × n → ⋅ d A = 0

A expressão restante representa o volume que atravessa a superfície de controle. Este fluxo de fluido é composto pela entrada em ( 1 ) e ( 2 ) , e pelas saídas em ( 3 ) e ( 4 ) .

Q 1 + Q 2 - Q 3 - Q 4 = 0

Q 4 = Q 1 + Q 2 - Q 3

Já possuímos o valor da vazão de entrada em (1)

Q 1 = 300 L s

Os valores de Q 2   e Q 3 podem ser determinados pela VOLUME da região abaixo das curvas. Geralmente os erros nessa questão ocorrem por considerarmos apenas as áreas abaixo das curvas.

Passo 2

A distribuição de vazão na seção (2) é:

Como é uma distribuição parabólica sabemos que ela se comporta na forma:

q 2 x = a 2 x 2 + b 2 x + c 2

Quando x = 0 ⇒ q 2 0 = 0 :

q 2 0 = a 2 ⋅ 0 2 + b 2 ⋅ 0 + c 2

c 2 = 0

Se considerarmos que o ponto x = 0 é um ponto de mínimo da função, então:

d q 2 x d t x = 0 = 0  

d d t a 2 x 2 + b 2 x x = 0 = 0  

( 2 a 2 x + b 2 ) x = 0 = 0  

2 a 2 ⋅ 0 + b 2 = 0  

b 2 = 0

Quando x = 0,5 ⇒ q 0,5 = 80 L s ⋅ m

q 0,5 = a 2 ⋅ 0,5 2

80 = 0,25 a 2

a 2 = 320

Assim, chegamos numa equação:

q 2 x = 320 x 2

A vazão em um ponto da região ( 2 ) é dada por:

d Q x d x = q 2 x ⋅ h

Efetuando a integração:

Q 2 = ∫ 0 0,5 320 x 2 ⋅ 0,3 ⋅ d x

Q 2 = 0,3 ⋅ 320 x 3 3 0 0,5

Q 2 = 3 2 ⋅ 0,5 3

Q 2 = 4 L s

Passo 3

Para o fluxo de saída em ( 3 ) temos a seguinte distribuição:

A vazão é dada pela área abaixo da curva. Como o gráfico forma um triângulo podemos calcular pela área do triângulo

Q 3 = 1 2 150 ⋅ L ⋅ h

Q 3 = 1 2 150 ⋅ 0,5   ⋅ 0,3

Q 3 = 11,25 L s

Passo 4

A vazão em (4) é:

Q 4 = Q 1 + Q 2 - Q 3

Q 4 = 300 + 4 - 11,25

Q 4 = 292,75 L s

Resposta

Q 4 = 292,75 L s

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