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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 13

For an incompressible plane flow in polar coordinates, we

are given

υ

r 5 r3 cos θ 1 r2 sin θ

Find the appropriate form of circumferential velocity for

which continuity is satisfied.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escreva a equação de continuidade geral em coordenadas polares cilíndricas.

1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ v θ ∂ θ = 0

Aqui, o componente radial da velocidade é v r e o componente circunferencial da velocidade é v θ . Substitua r 3 c o s ⁡ θ + r 2 s i n ⁡ θ para v r .

1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ ∂ θ v θ = 0 1 r ∂ ∂ r r r 3 c o s ⁡ θ + r 2 s i n ⁡ θ = - 1 r ∂ ∂ θ v θ 4 r 3 c o s ⁡ θ + 3 r 2 s i n ⁡ θ r = - 1 r ∂ ∂ θ v θ . . . ( 1 ) ∂ ∂ θ v θ = - 4 r 3 c o s ⁡ θ + 3 r 2 s i n ⁡ θ

Passo 2

Integre a equação (1).

  ∫   d v θ = - ∫   4 r 3 c o s ⁡ θ + 3 r 2 s i n ⁡ θ d θ v θ = - 4 r 3 s i n ⁡ θ - 3 r 2 c o s ⁡ θ + K ( r ) v θ = 3 r 2 c o s ⁡ θ - 4 r 3 s i n ⁡ θ + K ( r )

Aqui, a constante de integração é K ( r ) . Assim, a forma adequada de velocidade circunferencial que deve satisfazer a continuidade é

3 r 2 c o s ⁡ θ - 4 r 3 s i n ⁡ θ + K ( r )

Resposta

3 r 2 c o s ⁡ θ - 4 r 3 s i n ⁡ θ + K ( r )

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