Com base em seus resultados para o Problema 4-94, discuta a compressibilidade (ou incompressibilidade) desse escoamento.

Passo 1

Temos que analisar e discutir o fluxo de campo com o problema de ser compressível ou incompressível.

Assumindo que o fluxo é constante e que tua apenas em duas dimensões, plano r - θ .

Sabemos que para um fluxo de duas dimensões ele é apenas incompressível se a taxa de deformação do volume for igual a zero.

Neste caso, temos que a formula é, no plano x - y :

1 V D V D t = ε x x + ε y y = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0                 1

Transformando para coordenadas cilíndricas temos:

1 V D V D t = ε r r + ε θ θ = ∂ u r ∂ r + 1 r ∂ u θ ∂ θ + u r = 0       2                

Passo 2

Substituindo nossos cálculos efetuados na questão 4-97, que foram ε r r     e     ε θ θ .

ε r r = 2 V cos ⁡ θ a 2 r 3

ε θ θ = - 2 V c o s   θ a 2 r 3

Substituindo na equação (2) , temos:

ε r r + ε θ θ = 0

2 V cos ⁡ θ a 2 r 3 - 2 V c o s   θ a 2 r 3 = 0

0 = 0

Provamos matematicamente que o fluxo é incompressível.

Resposta

Provamos matematicamente que o fluxo é incompressível.

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