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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 28

O campo de velocidade para um dipolo plano é dado na Tabela 6.2. Determine uma expressão para o gradiente de pressão em qualquer ponto ( r ,   θ ).

Passo 1

Pessoal, para o campo de velocidade de um dipolo deve-se usar as equações de Euler com coordenadas cilíndricas:

ρ a r = ρ ∂ V r ∂ t + V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ + V z ∂ V r ∂ z - V θ 2 r = ρ g r - ∂ p ∂ r

ρ a θ = ρ ∂ V θ ∂ t + V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V z ∂ V θ ∂ z + V r V θ r = ρ g θ - 1 r ∂ p ∂ θ

Onde, pela tabela 6.2:

V r = - A r 2 cos ⁡ θ

V θ = - A r 2 sin ⁡ θ

V z = 0

Passo 2

Vamos ignorar a gravidade nesta questão. Para a equação em r, teremos:

ρ V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ - V θ 2 r = - ∂ p ∂ r

Substituindo os valores:

ρ - A r 2 cos ⁡ θ ∂ - A r 2 cos ⁡ θ ∂ r + - A r 2 sin ⁡ θ r ∂ - A r 2 cos ⁡ θ ∂ θ - - A r 2 sin ⁡ θ 2 r = - ∂ p ∂ r

ρ - A r 2 cos ⁡ θ 2 A r 3 cos ⁡ θ - A r 3 sin ⁡ θ A r 2 sin ⁡ θ - A 2 sin 2 ⁡ θ r 5 = - ∂ p ∂ r

ρ 2 A 2 r 5 cos 2 ⁡ θ + A 2 r 5 sin 2 ⁡ θ + A 2 r 5 sin 2 ⁡ θ = ∂ p ∂ r

2 ρ A 2 r 5 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = ∂ p ∂ r

∂ p ∂ r = 2 ρ A 2 r 5

Passo 3

Vamos ignorar a gravidade nesta questão. Para a equação em θ , teremos:

ρ V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V r V θ r = - 1 r ∂ p ∂ θ

Substituindo os valores:

ρ - A r 2 cos ⁡ θ ∂ - A r 2 sin ⁡ θ ∂ r + - A r 2 sin ⁡ θ r ∂ - A r 2 sin ⁡ θ ∂ θ + - A r 2 sin ⁡ θ - A r 2 cos ⁡ θ r = - ∂ p ∂ θ

ρ - A r 2 cos ⁡ θ 2 A r 3 sin ⁡ θ - A r 3 sin ⁡ θ - A r 2 cos ⁡ θ + A 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ r 5 = - ∂ p ∂ θ

ρ - 2 A 2 r 5 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + A 2 r 5 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + A 2 r 5 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = ∂ p ∂ θ

0 = ∂ p ∂ θ

Logo, o gradiente é todo radial.

Resposta

∂ p ∂ r = 2 ρ A 2 r 5

∂ p ∂ θ = 0

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