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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 8

O campo de velocidade, para uma fonte plana localizada a uma distância h = 1   m acima de uma parede infinita alinhada ao longo do eixo x , é dado por:

V → = q 2 π x 2 + y - h 2 x i → + y - h j → + q 2 π x 2 + y + h 2 x i → + y + h j →

Em que q = 2   m 3 / s / m . A massa específica do fluido é 1000 kg/m³ e as forças de campo são desprezíveis. Deduza expressões para a velocidade e aceleração de uma partícula fluida movendo-se ao longo da parede, e trace um gráfico de x = 0 a x = + 10 h . Verifique se a velocidade e a aceleração normais à parede são iguais a zero. Trace um gráfico do gradiente de pressão ∂ p / ∂ x ao longo da parede. O gradiente de pressão ao longo da parede é adverso (ele opõe-se ao movimento do fluido), ou não?

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício escrevendo as componentes de velocidade u e v através dos dados do enunciado, então, temos:

u = q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2

v = q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2

Agora, sabemos que a equação da aceleração é dada por:

a → = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

No nosso caso, não temos nenhum termo da velocidade dependendo do tempo e nem da direção z , então nossa equação se torna:

a → = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Passo 2

Então vamos calcular as componentes da aceleração em x e y :

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = u ∂ ∂ x q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2 + v ∂ ∂ y q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2

Vamos calcular um termo de cada vez, então temos:

u ∂ u ∂ x = u ∂ ∂ x q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2

u ∂ u ∂ x = u q 2 π x 2 + y - h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + y - h 2 2 + q 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + y + h 2 2

u ∂ u ∂ x = q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2 q 2 π x 2 + y - h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + y - h 2 2 + q 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + y + h 2 2

Agora na direção y :

v ∂ u ∂ y = v ∂ ∂ y q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2

v ∂ u ∂ y = v 0 2 π x 2 + y - h 2 - q x 4 π y - h 2 π x 2 + y - h 2 2 + 0 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π y + h 2 π x 2 + y + h 2 2

v ∂ u ∂ y = q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π y - h 2 π x 2 + y - h 2 2 + - q x 4 π y + h 2 π x 2 + y + h 2 2

Essas serão as componentes da velocidade em x , não vamos colocar todos os termos na mesma equação pois a visualização ficaria prejudicada.

Passo 3

Agora vamos repetir o processo do passo 2 para a aceleração em y , então, temos:

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = u ∂ ∂ x q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2 + v ∂ ∂ y q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2

Vamos calcular um termo de cada vez, então temos:

u ∂ v ∂ x = u ∂ ∂ x q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2

u ∂ v ∂ x = u ( 0 ) x 2 + y - h 2 - q ( y - h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + y - h 2 2 + ( 0 ) x 2 + y - h 2 - q ( y + h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + y + h 2 2

u ∂ v ∂ x = q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2 - q ( y - h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + y - h 2 2 + - q ( y + h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + y + h 2 2

Agora na direção y :

v ∂ v ∂ y = v ∂ ∂ y q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2

v ∂ v ∂ y = v q 2 π x 2 + y - h 2 - q ( y - h ) 4 π y - h 2 π x 2 + y - h 2 2 + q 2 π x 2 + y + h 2 - q ( y + h ) 4 π y + h 2 π x 2 + y + h 2 2

v ∂ v ∂ y = q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π y - h 2 π x 2 + y - h 2 2 + - q x 4 π y + h 2 π x 2 + y + h 2 2

Passo 4

Tá legal, então, como queremos analisar condições ao longo da parede, onde temos y = 0 , então as velocidades se tornam:

u = q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2

u = q x 2 π x 2 + 0 - h 2 + q x 2 π x 2 + 0 + h 2 → u = q x π x 2 + h 2

v = q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2

v = q 0 - h 2 π x 2 + 0 - h 2 + q 0 + h 2 π x 2 + 0 + h 2 → v = 0

E, as acelerações serão:

u ∂ u ∂ x = q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2 q 2 π x 2 + y - h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + y - h 2 2 + q 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + y + h 2 2

u ∂ u ∂ x = q x 2 π x 2 + 0 - h 2 + q x 2 π x 2 + 0 + h 2 q 2 π x 2 + 0 - h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + 0 - h 2 2 + q 2 π x 2 + 0 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + 0 + h 2 2

u ∂ u ∂ x = q x π x 2 + h 2 q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2 + q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2

v ∂ u ∂ y = q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π y - h 2 π x 2 + y - h 2 2 + - q x 4 π y + h 2 π x 2 + y + h 2 2

v ∂ u ∂ y = q 0 - h 2 π x 2 + 0 - h 2 + q 0 + h 2 π x 2 + 0 + h 2 - q x 4 π 0 - h 2 π x 2 + 0 - h 2 2 + - q x 4 π 0 + h 2 π x 2 + 0 + h 2 2

v ∂ u ∂ y = 0 - q x 4 π - h 2 π x 2 + - h 2 2 + - q x 4 π h 2 π x 2 + h 2 2 → v ∂ u ∂ y = 0

Então a aceleração em x será:

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = q x π x 2 + h 2 q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2 + q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2

Passo 5

Agora, substituindo o valor de y = 0 na aceleração na direção y , temos:

u ∂ v ∂ x = q x 2 π x 2 + y - h 2 + q x 2 π x 2 + y + h 2 - q ( y - h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + y - h 2 2 + - q ( y + h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + y + h 2 2

u ∂ v ∂ x = q x 2 π x 2 + 0 - h 2 + q x 2 π x 2 + 0 + h 2 - q ( 0 - h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + 0 - h 2 2 + - q ( 0 + h ) ( 4 π x ) 2 π x 2 + 0 + h 2 2

u ∂ v ∂ x = q x π x 2 + h 2 0 → u ∂ v ∂ x = 0

E, o segundo termo será:

v ∂ v ∂ y = q y - h 2 π x 2 + y - h 2 + q y + h 2 π x 2 + y + h 2 - q x 4 π y - h 2 π x 2 + y - h 2 2 + - q x 4 π y + h 2 π x 2 + y + h 2 2

v ∂ v ∂ y = q 0 - h 2 π x 2 + 0 - h 2 + q 0 + h 2 π x 2 + 0 + h 2 - q x 4 π 0 - h 2 π x 2 + 0 - h 2 2 + - q x 4 π 0 + h 2 π x 2 + 0 + h 2 2

v ∂ v ∂ y = 0 0 → v ∂ v ∂ y = 0

Então, a aceleração em y será:

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = 0 + 0 → a y = 0

Passo 6

Agora, para encontrar o gradiente de pressão, temos a seguinte equação:

ρ D V → D t = ρ g → - ∇ p

Como não temos velocidade e nem aceleração em y , então não temos gradiente de pressão nessa direção na parede, então, a equação do gradiente de pressão em x se resume à:

ρ D u D x = - ∂ p ∂ x → ∂ p ∂ x = - ρ D u D x

No entanto, nós já encontramos o termo D u / D x lá no passo 4, pois esse termo nada mais é do que a aceleração na direção x , então a equação para o gradiente de pressão se torna:

∂ p ∂ x = - ρ q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2 + q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2

Passo 7

Agora vamos plotar todos os gráficos pedidos no enunciado, a velocidade será:

A aceleração será:

E, por fim, o gradiente de pressão:

Resposta

u = q x π x 2 + h 2 ;   v = 0

a x = q x π x 2 + h 2 q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2 + q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2 ;   a y = 0

∂ p ∂ x = - ρ q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2 + q 2 π x 2 + h 2 - q x 4 π x 2 π x 2 + h 2 2

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