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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 25

Considere novamente o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. Faça uma análise de ordem de grandeza na equação do momento y e escreva a forma final da equação do momento y . (Sugestão: Você precisará dos resultados dos Problemas 10-23 e 10-24.) O que você pode dizer sobre o gradiente de pressão ∂ P / ∂ y ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O problema pede que analisemos a ordem de grandeza na equação do momento y .

Assim, vamos assumir que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. Forças da gravidade são desconsideradas.

Analisamos as ordens de magnitude de cada termo na equação constante, bidimensional, incompressível e sem gravidade. Assim, lembrando da equação do momento encontrada no problema anterior, aplicando para o momento em y :

ρ u ∂ v ∂ x + ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ v ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + μ ∂ 2 v ∂ y 2             ( 1 )  

E mais uma vez substituindo os termos proporcionais e as expressões equivalentes encontradas nos problemas 10-23 e 10-24, temos:

ρ V 2 h 0 L ² + ρ V 2 h 0 L ²   ≈ - μ V L h 0 3 + μ V h 0 L 3 + μ V L h 0         ( 2 )  

Passo 2

Mais uma vez, implicamos que primeiro termo viscoso da Eq. 2 é muito menor que o segundo termo viscoso desde h 0 < < L . Multiplicamos a ordem de magnitude de todos os termos restantes por L ² / ( ρ V 2 h 0 ) para comparar termos:

ρ u ∂ v ∂ x + ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ P ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ y 2                                     ( 3 )

E suas respectivas ordens de magnitude:

1 + 1 = μ ρ V h 0 L h 0 3 + μ ρ V h 0 L h 0                               → 1 + 1 = 1 R e L h 0 3 + 1 R e L h 0               ( 4 )

Obs: Reconhecemos o número de Reynolds como R e   =   ρ V h 0 / μ .

Passo 3

Assim, como a pressão e os termos viscosos contêm o produto de 1 / R e , que é grande para fluxo rastejante, e L / h 0   , que também é grande, é claro que os termos inerciais (lado esquerdo da Eq. 4) são insignificantemente pequenas em comparação com a pressão e os termos viscosos.

Isso é esperado, é claro, para o escoamento lento. Agora analisemos a pressão e os termos viscosos. Ambos contêm 1 / R e , mas o termo pressão possui um fator adicional de L h 0 2 , que é muito grande. Assim, o termo pressão é o único termo restante na Eq. 4.

Como pode ser isso?

Relaxa, como não há termos que pode equilibrar o termo pressão, o próprio termo pressão deve ser muito pequeno. Em outras palavras, a equação do momento y   reduz a:

∂ P ∂ y = 0

Em outras palavras, a pressão no problema do mancal é uma função de x , mas uma função muito fraca e desprezível de y .

Resposta

Portanto, deduzimos que ∂ P ∂ y = 0

E a equação do momento em y :

ρ u ∂ v ∂ x + ρ v ∂ v ∂ y = - ∂ P ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ y 2

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