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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 20

Num certo fenômeno físico, as forças viscosas e da gravidade são dominantes. O protótipo funciona com um fluido de viscosidade cinemática ν = 4,8.10 - 5   m 2 / s . Se a escala geométrica é 1:4, qual deve ser a viscosidade do fluido utilizado no texto do modelo para que haja semelhança completa? Justificar tudo o que for adotado.

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa do fenômeno, como o enunciado disse que as forças viscosas e da gravidade são dominantes, temos que ter obrigatoriamente μ e g , sabemos que as forças viscosas dependem do fluido, ou seja, devemos ter ρ e também da velocidade do fluido v . E por último, devemos ter um comprimento característico L , já que o enunciado forneceu informações a respeito da escala geométrica, então a função representativa será:

f ρ , v , L , μ , g = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; L = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; g = L T - 2 ;

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 μ  

π 2 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 μ = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L - 1 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 2 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + ( - 1 ) + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 1 L - 1 μ → π 1 = μ ρ v L → R e = ρ v L μ R e y n o l d s

Agora vamos encontrar π 2 :

π 2 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g = M L - 3 δ 1 L T - 1 δ 2 L δ 3 L T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

δ 1 + 0 = 0 → δ 1 = 0

- δ 2 - 2 = 0 → δ 2 = - 2

- 3 δ 1 + δ 2 + δ 3 + 1 = 0 → - 3 0 + - 2 + δ 3 + 1 = 0 → δ 3 = 1

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ 0 v - 2 L 1 g → π 2 = L g v 2 → F r = v 2 L g   ( F r o u d e )

Passo 3

Para obtermos semelhança entre o protótipo e o modelo, os adimensionais encontrados devem ser iguais, então:

R e m = R e p → ρ m v m L m μ m = ρ p v p L p μ p → v m L m ν m = v p L p ν p

F r m = F r p → v m 2 L m g m = v p 2 L p g p

O enunciado não mencionou nada sobre a atmosfera dos testes, então vamos assumir g m = g p = g . E ele nos disse ainda que L m / L p = 1 / 4 → L p = 4 L m , então, substituindo os valores conhecidos na segunda equação, temos:

v m 2 L m g = v p 2 4 L m g → v m v p = 0,5

Agora vamos substituir esse resultado na equação para o número de Reynolds:

v m L m ν m = v p L p ν p

v m v p L m ν m = 4 L m ν p → ν m = v m v p ν p 4

Substituindo os valores conhecidos:

ν m = 0,5 4,8.10 - 5 4 → ν m = 6.10 - 6   m 2 / s

Resposta

ν m = 6.10 - 6   m 2 / s

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