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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 17

Uma esfera totalmente submersa em um líquido movimenta-se em um plano horizontal com uma velocidade v 1 , sendo necessária uma força F 1 . Essa força foi medida para diversas velocidades, obtendo-se os dados da tabela a seguir. Se outra esfera totalmente submersa, de diâmetro D 2 = 50   c m , movimenta-se no mesmo fluido com velocidade v 2 = 3   m / s , qual será a força necessária? Dados: D 1 = 20   c m ; ρ = 1000   k g / m 3 ; μ = 10 - 3   N . s / m 2 . Função representativa: f F , ρ , v , D , μ = 0 .

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, o enunciado já nos forneceu.

f F , ρ , v , D , μ = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; D = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; F = M L T - 2 ;

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 D α 3 μ  

π 2 = ρ β 1 v β 2 D β 3 F

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 D α 3 μ = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L - 1 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 2 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + ( - 1 ) + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 1 D - 1 μ → π 1 = μ ρ v D → R e = ρ v D μ R e y n o l d s

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 v β 2 D β 3 F = M L - 3 β 1 L T - 1 β 2 L β 3 M L T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + β 2 + β 3 + 1 = 0 → - 3 - 1 + - 2 + β 3 + 1 = 0 → β 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ - 1 v - 2 D - 2 F → π 2 = F ρ v 2 D 2 → E u = F ρ v 2 D 2 E u l e r

Passo 3

Agora que encontramos os grupos dimensionais, sabemos que esses números devem ser iguais entre o modelo e o protótipo, ou seja:

E u 1 = E u 2 → F 1 ρ 1 v 1 2 D 1 2 = F 2 ρ 2 v 2 2 D 2 2

R e 1 = R e 2 → ρ 1 v 1 D 1 μ 1 = ρ 2 v 2 D 2 μ 2

Como o enunciado nos disse que temos o mesmo fluido nas duas situações, então ρ 1 = ρ 2 = ρ e μ 1 = μ 2 = μ . Vamos substituir os valores conhecidos na equação de Reynolds:

ρ v 1 20 μ = ρ 3 50 μ → v 1 = 7,5   m / s

Agora que encontramos a velocidade, podemos usar a tabela fornecida no enunciado e interpolar para encontrar a força, então, temos:

F 1 - 180 300 - 180 = 7,5 - 6 8 - 6 → F 1 = 270   N

Resposta

F 1 = 270   N

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