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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 19

Num certo fenômeno, a função representativa é: f N , g , ρ , v , L = 0 , onde N = potência, g = aceleração da gravidade e L = comprimento característico. Ao determinar os adimensionais pelo teorema dos π e efetuando uma série de experiências em laboratório, chegou-se ao gráfico indicado a seguir. Se numa certa experiência obtém-se ρ = 1000   k g / m 3 , v = 2   m / s , L = 0,5   m e g = 10   m / s 2 , qual será a potência em kW? Adotar como base ρ , v , L .

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, o enunciado já nos forneceu.

f N , g , ρ , v , L = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; L = L ; N = M L 2 T - 3 ; g = L T - 2 ;

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 N  

π 2 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 N = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L 2 T - 3

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 3 = 0 → α 2 = - 3

- 3 α 1 + α 2 + α 3 + 2 = 0 → - 3 - 1 + - 3 + α 3 + 2 = 0 → α 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 3 L - 2 N → π 1 = N ρ v 3 L 2

Agora vamos encontrar π 2 :

π 2 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g = M L - 3 δ 1 L T - 1 δ 2 L δ 3 L T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

δ 1 + 0 = 0 → δ 1 = 0

- δ 2 - 2 = 0 → δ 2 = - 2

- 3 δ 1 + δ 2 + δ 3 + 1 = 0 → - 3 0 + - 2 + δ 3 + 1 = 0 → δ 3 = 1

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ 0 v - 2 L 1 g → π 2 = L g v 2

Passo 3

Agora, através da figura fornecida no enunciado, percebemos uma simetria no gráfico de π 1 × π 2 , dessa forma, eles são equivalentes, então podemos igualar os dois adimensionais de forma que:

π 1 = π 2 → N ρ v 3 L 2 = L g v 2 → N = ρ v L 3 g

E, agora, susbtituindo os valores dados no enunciado, temos:

N = 1000 2 0,5 3 10 → N = 2500   W → N = 2,5   k W

Resposta

N = 2,5   k W

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