Em um escoamento bidimensional sem atrito e incompressível (ρ = 1500 kg/m3), o campo de velocidade em m/s é dado por V → = A x + B y i ^ + B x - A y j ^ , as coordenadas são medidas em metros, e A = 4 s-1 e B = 4 s-1. A pressão é p0 = 200 kPa no ponto (x, y) = (0, 0). Obtenha uma expressão para o campo de pressão, p(x, y) em função de p0, A e B, e avalie a pressão no ponto (x, y) = (2,2).

Passo 1

Pessoal, o enunciado diz que o escoamento é bidimensional e incompressível e pede a expressão para o campo de pressão. Para isso, vamos aplicar a equação de Euler (6.1), uma vez que ela atende ao pedido:

ρ D V → D t =   ρ g → - ∇ p

Abrindo essa equação para as coordenadas x e y, temos as equações 6.2a e 6.2b (vamos eliminar o termo em z, pois o escoamento é bidimensional):

ρ ∂ u d t + u ∂ u d x + v ∂ u d y =   ρ g x - ∂ p d x

ρ ∂ v d t + u ∂ v d x + v ∂ v d y =   ρ g y - ∂ p d y

Onde g x   e   g y valem zero. Então ficamos com:

- ρ ∂ u d t + u ∂ u d x + v ∂ u d y =   ∂ p d x

- ρ ∂ v d t + u ∂ v d x + v ∂ v d y =   ∂ p d y

Passo 2

Vale lembrar as equações aprendidas no capítulo 5, que abordam a aceleração de partícula. Pela equação 5.9, temos que:

D V → D t =   a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + ∂ V → ∂ t

Abrindo essa equação para as coordenadas x e y, temos as equações 5.11a e 5.11b (vamos eliminar o termo em z, pois o escoamento é bidimensional):

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + ∂ u ∂ t

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + ∂ v ∂ t

Considerando o regime permanente, as parciais em função do tempo são nulas. Ficamos então com: a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Comparando estas duas equações nas equações do passo anterior (6.2a e 6.2b), podemos substituir o que está dentro dos colchetes:

- ρ a x =   ∂ p ∂ x

- ρ a y =   ∂ p ∂ y

Podemos calcular a x   e   a y com os dados fornecidos pelo enunciado.

u = A x + B y = 4 x + 2 y v = B x - A y = 2 x - 4 y

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = A x + B y A + B x - A y B = x ( A 2 + B 2 )

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = A x + B y B + B x - A y - A = y ( A 2 + B 2 )

Passo 3

A expressão do diferencial pressão total pode ser escrita por:

d p = d x ∂ p ∂ x + d y ∂ p ∂ y

Podemos substituir as parciais pelas expressões encontradas no passo anterior. - ρ a x =   ∂ p ∂ x

- ρ a y =   ∂ p ∂ y

Temos então:

d p = - ρ a x d x - ρ a y d y

d p = - ρ x A 2 + B 2 d x - ρ y ( A 2 + B 2 ) d y

Integrando, temos a expressão do campo de pressão:

p - p 0 = - ρ A 2 + B 2 ∫ 0 x x d x + ∫ 0 y y d y

p ( x , y ) = p 0 - ρ A 2 + B 2 x 2 2 + y 2 2

Passo 4

Agora, basta usar esta equação no ponto pedido pelo enunciado (2,2). Substituindo os valores de p 0 = 200 k P a ;     ρ = 1500 k g / m ³ ;       A = 4 s - 1 ;       B = 2 s - 1 , temos:

p ( 2 , 2 ) = 200 - 1500 1000 4 2 + 2 2 2 2 2 + 2 2 2

p 2,2 = 200 - 1,5 20 4 = 80 k P a

p 2,2 = 80 k P a

Resposta

p ( x , y ) = p 0 - ρ A 2 + B 2 x 2 2 + y 2 2

p 2,2 = 80 k P a

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