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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 113

Um cilindro sólido redondo, feito com um material plástico ( α   =   6 × 10 - 7 m 2 / s ) , está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 ° C e se encontra isolado ao longo de sua superfície lateral e em uma de suas extremidades. No tempo t   =   0 , calor é aplicado na extremidade restante do cilindro, causando um aumento linear de T 0 com o tempo a uma taxa de 1 ° C / s .

(a) Usando o método explícito com F o   =   ½ , deduza as equações de diferenças finitas para os nós 1 ,   2 ,   3 e 4 .

(b) Faça uma tabela que apresente as seguintes colunas: p ,   t ( s ) e as temperaturas nodais de T 0 a T 4 . Determine a temperatura na superfície T 0 quando T 4   =   35 ° C .

Passo 1

Oiee, vamos para mais uma questão? 😊. Aqui nós temos um cilindro sólido de material plástico inicialmente em temperatura uniforme de T i   =   20   °   C , isolada em uma extremidade ( T 4 ), enquanto outra extremidade experimenta aquecimento, fazendo com que sua temperatura T 0 aumente linearmente com o tempo a uma taxa de a   =   1   °   C   /   s .

Com essas informações, queremos encontrar as equações de diferenças finitas para os 4 nós usando o método explícito com F o   =   1 / 2 e a temperatura da superfície T 0 quando T 4 =   35 ° C . Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a condução transitória é unidimensional no cilindro, as propriedades são constantes e as superfícies laterais e finais são perfeitamente isoladas.

As equações de diferença finita usando o método explícito para os nós interiores ( m   =   1 ,   2 ,   3 )   com F o   =   1 / 2   são:

T m p + 1 = F o T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F o T m p = 0,5 T m + 1 p + T m - 1 p

A partir de um balanço de energia no nó de volume de controle 4 com F o   =   1 / 2 , temos:

E ˙ e n t - E ˙ s a i + E ˙ g = E ˙ s t

q a + q b + 0 = ρ c V T 4 p + 1 - T 4 p t

0 + k T 3 p - T 4 p Δ x = ρ c Δ x 2 T 4 p + 1 - T 4 p t

T 4 p + 1 = 2 F o   T 3 p + 1 - 2 F o T 4 p = T 3 p

Passo 3

Fazendo os cálculos, o histórico de temperatura-tempo é tabulado abaixo, onde T 0   =   T i   +   a . t ,   a   =   1   ° C / s e t   =   p ⋅ Δ t com,

F o = α t x 2 = 0,5

E,

t = 0,5 0,006 m 2 6 × 10 - 7 m 2 / s = 30 s

Quando T 4   ( 210 s ,   p   =   7 )   =   35   °   C , encontramos que   T 0   ( 210 s )   =   230   °   C .

Resposta

  1. m= 1,2 , 3   e 4

    2. T m p + 1 = F o T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F o T m p = 0,5 T m + 1 p + T m - 1 p

    m= 4

    T 4 p + 1 = 2 F o   T 3 p + 1 - 2 F o T 4 p = T 3 p

Quando T 4   ( 210 s ,   p   =   7 )   =   35   °   C , encontramos que   T 0   ( 210 s )   =   230   °   C .

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