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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 50

Considere a rede para um sistema bidimensional, sem geração volumétrica interna de calor, que tem as temperaturas nodais mostradas a seguir. Sendo o espaçamento da malha de 125   m m e a condutividade térmica do material de 50   W / m K , calcule a taxa de transferência de calor na superfície isotérmica ( T s ) por unidade de comprimento normal à página.

Passo 1

Nosso primeiro passo será desenhar o volume de controle ao redor do contorno isotérmico e verificar quais são as taxas que atravessam o volume de controle:

O balanço de energia em regime estacionário para esse sistema é:

E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r = 0

E ˙ e n t - E ˙ s a í d a = 0

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + q 7 - q s = 0

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + q 7 = q s

Passo 2

Vamos agora descrever cada uma das taxas:

q 1 = k A 1 L 1 ∆ T 1

q 1 = k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y ( T 1 - T s )

q 2 = k A 2 L 2 ∆ T 2

q 2 = k ∆ x ∙ 1 ∆ y ( T 2 - T s )

q 3 = k A 3 L 3 ∆ T 3

q 3 = k ∆ x ∙ 1 ∆ y ( T 3 - T s )

q 4 = k A 4 L 4 ∆ T 4

q 4 = k ∆ x ∙ 1 ∆ y ( T 4 - T s )

q 5 = k A 5 L 5 ∆ T 5

q 5 = k ∆ x ∙ 1 ∆ y ( T 5 - T s )

q 7 = k A 7 L 7 ∆ T 7

q 7 = k ∆ y 2 ∙ 1 ∆ x ( T 7 - T s )

Substituindo no balanço:

q s = k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T 1 - T s + k ∆ x ∙ 1 ∆ y T 2 - T s + k ∆ x ∙ 1 ∆ y T 3 - T s + k ∆ x ∙ 1 ∆ y T 4 - T s + k ∆ x ∙ 1 ∆ y T 5 - T s + k ∆ y 2 ∙ 1 ∆ x ( T 7 - T s )

Passo 3

Aplicando ∆ x = ∆ y :

q s = k 2 T 1 - T s + k T 2 - T s + k T 3 - T s + k T 4 - T s + k T 5 - T s + k 2 ( T 7 - T s )

q s = k ( 0,5 T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + 0,5 T 7 - 5 T s )

Substituindo os valores numéricos fornecidos no enunciado:

q s = 50 ∙ ( 0,5 ∙ 120,55 + 120,64 + 121,29 + 123,89 + 134,57 + 0,5 ∙ 147,14 - 5 ∙ 100 )

q s = 6711,75   W

Como usamos nas equações z = 1   m podemos escrever:

q s ' = q s z = 6711,75 1   W / m

q s ' = 6711,75   W / m

Resposta

A taxa de transferência de calor que atravessa a parede isotérmica por unidade de comprimento normal à página é:

q s ' = 6711,75   W / m

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