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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 49

Condução bidimensional, em regime estacionário, ocorre em um sólido cilíndrico oco de condutividade térmica k = 16   W / ( m   .   K ) , raio externo r e = 1   m e comprimento total 2 z e = 5   m , onde a origem do sistema de coordenadas encontra-se localizada no meio da linha central. A superfície interna do cilindro é isolada termicamente e a distribuição de temperaturas no cilindro tem a forma T ( r , z ) = a + b r ²   +   c l n ( r ) + d z ² , na qual a = - 20 ° C , b = 150 ° C / m ² , c = - 12 ° C , d = - 300 ° C / m ² , e r e z estão em metros.

  1. Determine o raio interno r i do cilindro.
  2. Obtenha uma expressão para a taxa volumétrica de geração de calor, q   ( W / m ³ ) .
  3. Determine a distribuição axial dos fluxos térmicos na superfície externa, q r " ( r e , z ) . Qual é a taxa de transferência de calor na superfície externa? Ela ocorre para dentro ou para fora do cilindro?
  4. Determine a distribuição radial dos fluxos térmicos nas faces extremas do cilindro, q r " ( r , + z e ) e q r " ( r , - z e ) . Quais são as taxas de transferência de calor correspondentes? Elas ocorrem para dentro ou para fora do cilindro?
  5. Verifique se os seus resultados são consistentes com um balanço de energia global no cilindro.

Passo 1

Fala aí! Partiu fortalecer nossos conhecimentos com essa questão aí!

Precisamos resolver essas cinco letrinhas aí… É só fazer com calma que dá certo, ok?

Bom, vamos com pelo começo… Letra a!

Ela ta pedindo pra gente achar o raio r i , então vamos lá!

Para ele ser adiabático, o gradiente de temperatura em r deve ser igual a zero, a partir daí temos que:

∂ T ∂ r | r i = 0

∂ a + b r i ²   +   c l n ( r i ) + d z ² ∂ r = 0

0 + 2   .   b   .   r i + c   .   1 r i + 0 = 0

r i = - c 2   .   b 1 / 2

r i = - - 12 2   .   150 1 / 2

r i = 0,2   m

Passo 2

Agora vamos seguir para a letra b! Ela quer que a gente encontre o q , pra isso vamos substituir a distribuição de temperatura na nossa conhecida equação de difusão de calor, beleza?

1 r   .   ∂ ∂ r r   .   ∂ T ∂ r + ∂ ∂ z ∂ T ∂ z + q k = 0

1 r   .   ∂ ∂ r r   .   ∂ a + b r i ²   +   c l n ( r i ) + d z ² ∂ r + ∂ ∂ z ∂ a + b r i ²   +   c l n ( r i ) + d z ² ∂ z + q k = 0

1 r   .   ∂ ∂ r r   .   0 + 2   .   b   . r + c   .   1 r + 0 + ∂ ∂ z 0 + 0 + 0 + 2   .   d   .   z + q k = 0

1 r   . 4   .   b   .   r + 2   .   d + q k = 0

q =   - k   .   4   .   b + 2   .   d

q =   - 16   .   4   .   150 + 2   .   - 300

q =   0   W / m ³

Partiu letra c!

Passo 3

No caso da letra c, o enunciado pede pra gente achar há taxa de transferência de calor, mas antes precisamos do fluxo térmico q r " ( r e , z ) , vamos nessa então!

q r " ( r e , z ) =   - k   .   ∂ T ∂ r | r e

q r " ( r e , z ) =   - k   .   ∂ a + b r i ²   +   c l n ( r i ) + d z ² ∂ r | r e

q r " ( r e , z ) =   - k   .   0 + 2   .   b   .   r e + c   .   1 r e + 0

q r " ( r e , z ) =   - 16   .   2   .   150   .   1 + ( - 12 )   .   1 1

q r " ( r e , z ) =   - 4608   W / m ²

Agora podemos encontrar a taxa:

q r ( r e ) = A r   .   q r " ( r e , z )

E sendo a nossa área: A r = 2   .   π   .   r e   .   ( 2 z e ) , teremos:

q r ( r e ) = 2   .   π   .   r e   .   ( 2   .   z e )   .   q r " ( r e , z )

q r ( r e ) = 4   .   π   .   1   .   2,5   .   ( - 4608 )

q r ( r e ) =   - 144,765   W

Deu negativo! Sem problemas! Isso significa que o fluxo de calor está no cilindro, beleza?

Passo 4

Na letra d, precisamos achar as taxas de transferência de calor em + z e e - z e … Para isso podemos usar a lei de Fourier, vamos nessa!

Primeiro para z = + z e :

q z ( + z e ) = A z   .   q z "

Precisamos do fluxo e da área… Hum… Bom, a área é só substituir A z = π   .   r e 2 - r i 2 , e para achar o fluxo fazemos:

q z " ( r , + z e ) =   - k   .   ∂ T ∂ z | z e

q z " ( r , + z e ) =   - k   .   ∂ a + b r i ²   +   c l n ( r i ) + d z ² ∂ z | z e

q z " ( r , + z e ) =   - k   .   0 + 0 + 0 + 2   .   d   .   z e

q z " ( r , + z e ) =   - k   .   2   .   d   .   z e

q z " ( r , + z e ) =   - 16   .   2   .   ( - 300 )   .   2,5

q z " ( r , + z e ) =   24000   W / m ²

Agora sim:

q z ( + z e ) = π   .   r e 2 - r i 2   .   q z "

q z ( + z e ) = π   .   1 ² - 0,2 2   .   24000

q z ( + z e ) = 72382   W

Beleza! Agora vamos fazer o mesmo para o z = - z e :

Vamos primeiro achar o fluxo:

q z " ( r , - z e ) =   - k   .   ∂ T ∂ z | - z e

q z " ( r , - z e ) =   - k   .   ∂ a + b r i ²   +   c l n ( r i ) + d z ² ∂ z | - z e

q z " ( r , - z e ) =   - k   .   0 + 0 + 0 + 2   .   d   .   - z e

q z " ( r , - z e ) =   k   .   2   .   d   .   z e

q z " ( r , - z e ) =   16   .   2   .   ( - 300 )   .   2,5

q z " ( r , - z e ) =   - 24000   W / m ²

Já podemos ver que como os fluxos têm apenas o sinal diferente o mesmo vai valer para a transferência de calor, pois a área é a mesma, então:

q z ( - z e ) = π   .   r e 2 - r i 2   .   q z "

q z ( - z e ) =   - 72382   W

Prontinho! Agora só falta a letra e!

Passo 5

Agora vamos de letra e! Ela quer que a gente faça um balanço de energia para confirmar a consistência dos nossos dados… Ok! Então vamos nessa!

E e n t r a d a - E s a í d a + E g e r a ç ã o = 0

- q r ( r e ) - q z ( z e ) - q z ( - z e ) + 0 = 0

- ( - 144765   W ) - 72382 - ( - 72382 ) = 0

144765 - 144765 = 0

Show de bola! Nossos dados são consistentes!

Uhul!! Conseguimos! Acabamos!

Resposta

  1. r i = 0,2   m

  2. q =   0   W / m ³

  3. q r ( r e ) =   - 144,765   W

  4. q z ( + z e ) = 72382   W e q z ( - z e ) =   - 72382   W

  5. Os dados são consistentes pois E e n t r a d a - E s a í d a + E g e r a ç ã o = 0
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